近几十年来,计算电磁学已被广泛应用于电子、通讯、遥测、遥控等众多领域,为工程设计及科学研究提供了电磁场的仿真模拟工具。随着科学技术的进步,尤其是电子技术的飞速发展,对于电磁仿真工具求解能力的要求也在不断提高。本文研究的多尺度问题正是计算电磁学面临的热点问题之一。多尺度问题是指待求目标不仅兼具电大问题巨大的未知量,还包含电小尺度亚波长的复杂精细结构。因而在使用电磁场数值算法求解时会遇到新的问题和挑战。本文主要研究积分方程的多尺度问题。论文从多尺度问题的混合形式快速算法、中低频多尺度问题中积分方程的稳定性以及平面分层结构中的多尺度电磁问题三个角度出发分别进行详细的阐述。为克服多层快速多极子方法在求解多尺度问题时效率降低的缺陷,本文针对混合形式的多尺度快速算法进行了研究。研究以低频稳定的快速笛卡尔展开方法为基础,通过转换使其与多层快速多极子方法相融合,弥补了多层快速多极子方法在求解多尺度问题时效率降低的缺陷。研究中涉及了几个关键技术点,其中包括:微分算子对笛卡尔张量的影响、混合快速方法的构建方式、体表积分方程的混合快速算法以及混合快速算法的预条件技术。最终基于体表方程形成了可用于求解电、磁及金属复合材质的混合形式多尺度快速算法求解器。在使用电场积分方程求解中、低频多尺度问题时,多尺度结构包含的精细网格将导致电场积分方程出现低频崩溃问题。为解决这一问题,本文首先分析了赫姆霍兹分解对电场积分方程低频崩溃问题的意义。通过引入约束条件的方式,推导了可用于低频问题求解的改进型的电场积分方程。进而引入微扰法解决了改进型电场积分方程在极低频下求解不精确的问题。利用对阻抗矩阵元素的级数展开,整合了电场积分方程、增广电场积分方程以及增广电场积分方程微扰法三种方法,形成了覆盖中频、低频以及极低频的高效阻抗矩阵填充算法,形成了适用于宽带问题的高效矩量法求解器。另外,通过增广电场积分方程和混合形式多尺度快速方法构建出适用于中、低频多尺度问题的快速求解器。在平面分层结构中的多尺度电磁问题的求解方面。针对平面分层结构的特点,研究了两种模式匹配方法。分别为基于谱域模式匹配方法的严格耦合波分析,以及基于二维有限元方法的数值模式匹配方法。最后针对工程上的需求,研究了参数连续变化条件下的快速计算方法。研究了基于紧缩基函数方法的模式降阶方法。研究了矩量法阻抗矩阵在求解宽频带问题时的仿射分解方式,将紧缩基函数方法应用于宽频带下矩量法的高效计算求解。研究了通过矩阵方程右端项预估解向量特性的预估技术,从而将紧缩基函数方法应用于入射平面波角度变化时矩量法的高效求解计算。