【摘 要】
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数值微分是一类典型的不适定问题,其求解的本质困难在于解的不稳定性,即当函数值本身具有较小的扰动时,直接求导产生的误差可能是任意的.为此,如何构造稳定的微分算法一直是数值微分研究的重点.本文考虑了求解数值微分问题的两类稳定化算法:有限差分法和磨光化方法,给出了两种算法的构造、误差分析及数值实现.有限差分法是基于代数精度的概念,利用待定系数法构造了任意阶的有限差分格式.此外,我们还分析了差分格式的余项
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数值微分是一类典型的不适定问题,其求解的本质困难在于解的不稳定性,即当函数值本身具有较小的扰动时,直接求导产生的误差可能是任意的.为此,如何构造稳定的微分算法一直是数值微分研究的重点.本文考虑了求解数值微分问题的两类稳定化算法:有限差分法和磨光化方法,给出了两种算法的构造、误差分析及数值实现.有限差分法是基于代数精度的概念,利用待定系数法构造了任意阶的有限差分格式.此外,我们还分析了差分格式的余项,给出了差分步长的选取策略.在磨光化方法中,我们给出了磨光核函数的通用取法,分别在∞范数和L2范数下给出了近似导数的误差分析及正则化参数的选取策略.在此基础上,我们给出了磨光核函数的具体取法.最后,我们通过数值实验说明了上述两类数值微分算法的数值有效性.
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