对于正整数n，设σ(n)是刀的全部约数的和函数。如果n满足σ(n)=2n，则称n为完全数。完全数问题是国际数学上的一个悬而未决的著名数论问题。自从人类提出完全数这一概念，与发现6、28、496、8128这4个完全数以来，人类一直都在研究与寻找完全数。 人类在研究与寻找完全数时得到结论：偶完全数与梅森素数是一一对应关系。偶完全数是型如n=2p-1.(2p-1)的数，其中的p与2p-1都为素数，2p-1型的素数被称为梅森素数。鉴于偶完全数与梅森素数这一特殊关系，本文作者先对梅森素数进行研究介绍。从现已知的梅森素数出发，探讨梅森素数的分布规律，指出梅森素数分布规律猜想“梅森素数的指数p的二阶差分序列的每5项中都有3项非负值与2项负值”的错误性，这将有助于寻找新的梅森素数与偶完全数。 偶完全数有许多的迷人的性质结论。本文作者在某些已知的结论的基础上探讨偶完全数n，n≡x(mody)的性质，以及用初等方法得到{nwk+3}2=28，{n41+1)2=16,36,56,76,96等一些结论。 迄今为止，人类共发现44个完全数，且均为偶完全数。是否有奇完全数存在，至今尚未解决。本文在奇完全数存在的条件下，研究了以全部奇完全数的倒数所组成的级数，得到了其和的一个上界：∑n 1/n<3.492×10-171(此处n经过所有的奇完全数)。