【摘 要】
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本文运用变分法和临界点理论中的相关工具及分析技巧,研究各种条件之下,拟线性薛定谔方程驻波解的存在性和非存在性.首先,研究渐近周期位势下的拟线性薛定谔方程-Δu + V(x)u
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本文运用变分法和临界点理论中的相关工具及分析技巧,研究各种条件之下,拟线性薛定谔方程驻波解的存在性和非存在性.首先,研究渐近周期位势下的拟线性薛定谔方程-Δu + V(x)u-Δ(u2)u = g(x,u),x ∈ RN,其中N ≥ 3,V,g是关于x的渐近周期函数,非线性项g满足次临界增长.该研究先将拟线性问题转化成半线性问题,然后用Nehari流形得到基态解的存在性.其次,研究如下带临界指数的渐近周期拟线性薛定谔方程-Δu + V(x)u-Δ(u2)u = K(x)|u|2·t-2u + g(x,u),x ∈ RN,其中N ≥ 3,2*= 2N/-2,V,g是关于x的渐近周期函数,它们在无穷远处均满足一个优化的渐近过程,并且非线性项g满足单调性条件.通过Nehari流形结合集中紧性原理得到了 一个基态解.再次,研究如下带有一般非线性项的拟线性薛定谔方程-Δu + V(x)u-Δ(u2)u = g(u),x ∈ RN,(0.1)其中V(x)满足一定的几何条件,g(u)满足由Berestycki和Lions提出的(BL)条件,当|x| → 时,V(r)趋向于零.在径向对称的条件下,通过单调技巧,得到(PS)序列的有界性,由Strauss引理得到紧性,从而得到正解,然后再给出基态解的存在性.同时,通过Pohozaev流形,得到了不存在性结果.最后,在R3中讨论方程(0.1).此时,非线性项g(u)非齐次,并且在无穷远处渐近三次.在Pohozaev流形上的下确界不可达的情况下,考虑找束缚态解.借助Pohozaev流形上重心为零的函数构造环绕,运用环绕定理得到了方程(0.1)的束缚态解.
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