度量空间(E,dE)到度量空间(F,dF)的映射T是1-Lipschitz的,如果dF(T(x),T(y))≤dE(x,y),)()x,y∈E.(0.1)如果将上式中的“≤”更换成为“≥”,我们就称该映射T是反1-Lipschitz的。特别地,如果上式中的等号成立我们就称该映射T是等距映射。经典的Mazur-Ulam定理[84]阐述了两个实赋范线性空间之间的满等距映射T如果同时还满足T(0)=0,那么映射T是线性的。Mankiewicz[83]将这个结论推广,他证明两个赋范线性空间E,F的连通开子集之间的满等距映射能延拓成全空间上的仿射满等距。这两个结论说明两个赋范线性空间E.F是线性同构的充要条件是它们的单位球是等距同构的。这意味着一个赋范空间的线性结构完全由它的单位球的度量结构决定。很自然地,人们想到能决定全空间结构的子集就是单位球面。1987年,D.Tingley[117]提出了下述问题:问题0.0.1设E和F是两个赋范线性空间,T0是它们的单位球面S(E)和S(F)之间的一个满等距,那么T0是否能够延拓成为全空间上的仿射等距呢?这个问题称为等距延拓问题或者Tingley问题。对此问题,我们通常只考虑实数域的情形,因为该问题对于复空间来说显然是不成立的。举反例如下:取E=F=C,对于C中任意模为常数一的元x定义T0(x)=(x)。如果单位球面上没有线性结构或者度量凸结构,那么该问题的解答就很难,因此到目前为止,就一般情形而言,这个问题仍是开问题。在[117]中Tingley只得到了结论如下:当空间E,F是有限维空间时,对于空间E的单位球面S(E)上的任意元x都有T(-x)=-T(x)成立。在过去的几十年里,定光桂教授和他的学生们一直致力于这个问题并得到了很多有意义的结果(参看文献[27,34,36,40]以及其中的参考文献)。目前为止,两个同类型的经典巴拿赫空间之间的满等距映射的等距延拓问题基本上都已经解决了。非扩张映射(1-Lipschtz)与等距映射之间有密切的联系。每一个从紧度量空间到自身的满的非扩张映射都是等距映射。近几年来1-Lipschitz映射的延拓问题逐渐成为热点。关于这方面的文章可以参看[31,66,42,115]及其中的参考文献。在[31]中,定教授对于希尔伯特空间上的单位球面上1-Lipschitz映射的延拓问题给予肯定的回答。在[66]中,刘锐在某些条件下证明了赋范线性空间的单位球面之间非满的1-Lipschitz映射可以延拓成为全空间上的实线性等距映射。在[42]中,方习年对于lp(r)类型的空间的单位球面之间的1-Lipschitz映射的延拓问题给予解答。　　 本文探讨了向量值空间LP(Ω,∑,μ；Lq,(),v))(2≤q0,我们称映射f:E→F保持距离r如果对所有的满足dE(x,y)=r的元x,y∈E,都有dF(f(x),f(y))=r并且称常数r为映射f保持的距离。在1970年,A.D.Alexandrov提出了下面的问题:问题0.0.2保持某一个距离的映射是含一定是一个等距映射?这个问题被称为是Alexandrov问题。关于这个问题的结论可以参看文献[79-81,94-99]。S.Gahler[49]给出了线性赋二范空间的定义,这个空间是赋范空间概念的推广。H.Y.Chu[11]得到了实线性赋二范空间中的Mazur-Ulam定理。A.Misiak在1989年[86]引入了线性赋n-范空间的定义,这是赋范空间和线性赋2-范空间概念的推广。H.Y.Chu[12]给出了适合于研究线性赋n-范空间中的保距离映射性质的n-等距的定义。本文给出了线性赋二范空间中Alexandrov问题一些注记,并对文[11]的结果进行了推广。另外还定义了线性赋(2,p)-范空间,并在此空间里解决了相应的Alexandrov问题。另外也将上述结论推广到相应的严格凸的线性赋n-范空间以及严格凸的线性赋(n,p)-范空间上。S.Mazur和S.Ulam[84]得到了著名的。Mazur-Ulam定理,从一个实赋范线性空间到另一个实赋范线性空间上的满等距映射是一个仿射。这个结论对于复空间来说不成立。同时满等距映射的假设也是必要的。在没有映射满的条件下J.Baker[5]证明了从一个实赋范线性空间到一个严格凸赋范线性空间内的等距映射是仿射。Moslehian[87]给出了非阿基米德域上严格凸空间的Mazur-Ulam定理.H.Y.Chu[12]证明了Mazur-Ulam定理在线性赋n-范空间中依然成立。另外 H.Y.Chu[13]给出了线性赋2-范空间中的黎兹引理。本文给出了非阿基米德域上严格凸的线性赋2-范空间上的Mazur-Ulam定理,并把相关结论推广到严格凸的线性赋n-范空间上。同时也讨论了实线性赋2-范空间中最佳逼近的存在和唯一性。