【摘 要】
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本文主要研究球面Sn+1(c)中满足一定曲率条件的完备连通超曲面,刻划了其中具有常k阶平均曲率Hk和两个不同主曲率的超曲面M,得到了M的黎曼乘积结构。 本文共分为三部分:
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本文主要研究球面Sn+1(c)中满足一定曲率条件的完备连通超曲面,刻划了其中具有常k阶平均曲率Hk和两个不同主曲率的超曲面M,得到了M的黎曼乘积结构。 本文共分为三部分: 第一部分,主要介绍了一些基本概念和公式,并给出了k阶平均曲率的定义。 第二部分,研究了欧氏球面Sn+1(c)中具有非零常数k阶平均曲率Hk和两个不同主曲率λ,μ(其中一个是单重)的n维完备定向超曲面M,描述了该超曲面的特征,即等距于黎曼乘积S1(c1)×Sn-1(c2).具体地说:当k阶平均曲率Hk>0时,如果超曲面M的第二基本形式模长的平方S满足S≥(n-1)t12/k+c2t1-2/k或者S≤(n-1)t12/k+c2t1-2/k,其中t1是方程PHk(t)=ckt(k-2)/k-(n-k)t+nHk=0(t＞0)的唯一正实根,那么M等距于黎曼乘积S1(c1)×Sn-1(c2),见定理2.1.当k阶平均曲率Hk＜0时,根据Hk的不同取值区间,分别得到一个不存在性结论及类似的刚性结果,分别参见定理2.2,2.3和定理2.4。 第三部分,研究了欧氏球面Sn+1(c)中具有常数Gauss-Kronecker曲率Hn和两个不同主曲率(其中一个是单重)的完备连通超曲面,证明了如果Hn是一个常数,那么Hn＜0,并且描述了这样的超曲面的黎曼积结构,见定理3.1。
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