本文第一部分研究了{x/p}的分布. 设{an}是数列，0≤α＜β＜1为固定正常数.以T(α，β，N)记集合{1≤n≤N：α≤{an}＜β}的元素个数，{u}表示实数u的小数部分.若Nlim∞T(α,β,N)/N=β-α则称{αn}是模1一致分布的(uniformlydistributedmodulo1).注意到数列是否模1一致分布与α，β的取值无关.由此我们知道，当α是无理数时的{αn}和数列{αp}是模1一致分布的：当α不是整数时，{nα}和{pα}也是模1一致分布的；对固定的充分大的x，当n≤x1-ε时，{x/n}也是模1一致分布的. 模1一致分布问题在数论中占有重要地位，许多数论经典问题都与之有关.我们知道，Dirichlet除数问题的余项可表示为△(x)=x1/2-2∑1≤u≤x1/2{x/u}+O(1).从而促使人们对{x/n}的分布进行研究. 设x是充分大的正数，α和R为实数，0≤α＜1，1≤R＜x.以N(x，R，α)表示满足α≤{x/n}＜α+R/n的自然数的个数.王炜[11]证明了：设(κ，λ)是任意指数对，当R≥xλ+k/2λ+1时，N(x，R，α)＜＜Rxε对α一致成立；用同样的方法，他证明了N(x，1，α)＜＜x1/2-1/156+ε对α一致成立.Varbanec[9]实质上证明了N(x，1，α)＜＜(1+(αx)1/2)xε，其中α=q/p为有理数.翟文广对此进行了改进，他得到： (1)设R＜(1-α)x，R=o(x)，则当xλ+κ/2+2κlogx＜R＜(1-α)2x/logx时，有渐近公式N(x，R，α)=Rlog(1-α)x/R+d(α)R+O(xλ+κ/2+2κlogx)+O(R2logx/x(1-α)).其中(κ，λ)是任意指数对，d(α)=γ+∞∑l=11-α/(l+1)(l+α)，γ为Euler常数. (2)设R＞(1-α)x.则当(1-α)x＞xλ+κ/2+2κlogx时，有渐近公式N(x,R,α)x∞∑l=11-α/(l+1)(l+α)+O(xλ+κ/2+2κlogx),(κ，λ)是任意指数对. (3)对任一指数对(κ，λ)，当R＜xλ+κ/2+2κ时，对α一致地有N(x，R，α)＜＜xλ+κ/2+2κ+ε. (4)N(x，1，α)＜＜x1/4+ε对α一致成立. 另一方面，Saffari和Vaughan[8]在1977年研究了和式θx,y=y-1∑p≤y(logp)cα(x/p),其中当0≤{u}＜α时，cα(u)=1；否则cα(u)=0.这实际上是研究了满足不等式0≤{x/p}＜α的素数p的个数的加权形式。他们利用零点密度估计得到：对()ε＞0，当x6/11+ε＜y≤x时，有如下的渐近公式：θx，y(α)=F(α，x/y)+O(exp(-c(ε)(logx/loglogx)1/3))，其中c(ε)是至多与ε有关的正数，F(α，x/y)有定义。此处的y的下界很大，即使是在Riemannzeta-函数的零点密度估计猜想成立的假设之下，指数6/11也只能被改进到1/2. 本文得到了两个主要结果：定理1.1当x32/47＜R＜x1-ε时，我们有：N(x，R,α)=∑n≤xα≤{x/n}＜α+R/n∧(n)=Rlogx(1-α/R)+c(α)R+O(Rexp(-Cη(R)))，(3)其中C是绝对正常数，c(α)=γ+1-∞∑l=1α/l(l+α),η(x)=(1ogx)3/5(1oglogx)-1/5. 定理1.2设是任意小的固定正常数.当xε＜＜y＜x时，有渐近公式：θx,y(α)=y-1∑p≤y(lop)cα(x/p)=F(α，x/y)+O(exp(-c(ε)(logx/loglogx)1/3))，(4)其中F(α，x/y)，c(ε)同上文中的定义. 论文第二部分考虑平方补数问题与除数问题. 除数问题一直是解析数论的热点问题.本文研究平方补数列中的除数问题. 设n为自然数，定义{a(n)}：=min{κ|n+k=m2，κ≥0，m∈N+}，这是F.Smarandache[3]的问题27中定义的数列{a2(n)}的类似.我们称a(n)为平方补函数(additivesquarecomple-ments). 徐哲峰[4]研究了和式∑n≤xd(a(n))并得到了其渐近公式，这里d(n)表示Dirichlet除数函数.易媛等[5]研究了和式∑n≤xd(n+a(n))并证明了∑d(n+a(n))=3/4π2xlog2x+A1xlogx+A2x+O(x3/4+ε)，其中A1，A2为常数，ε为任意小的正数. 本文证明两个主要结论：定理2.1我们有渐近公式∑n≤xd(n+a(n))=3/4π2xlog2x+A1xlogx+A2x+O(xiexp(-Cη(x)))，其中C＞0为绝对常数，η(x)：=(1ogx)3/5(1oglogx)-1/5. 上式的余项估计是目前的最好结果.若想进一步改进常数3/4，就必须对RiemannZeta-函数的零点分布有更多的了解.比如，在Riemann假设成立的情况下，可以进一步改进3/4. 然而，不附加任何条件，我们可以证明下面的小区间结果.为此，我们设1/3＜θ＜1/2为引理2.2.4中的常数。由Kolesnik[2]知可取θ=43/96+ε. 定理2.2令M(x)表示定理2.1渐近公式中的主项，则当x1+θ+ε≤y≤x时有∑x≤n≤x+yd(n+a(n))=M(x+y)-M(x)+O(yx-ε/2).