对任意图G，其顶点集的非空子集D是一个控制集，若对每个u∈V(G)-D，它的邻集与D的交集非空.图G的最小控制集中的顶点数是G的控制数，γ(G)表示图G的控制数.G□H是图G和图H的笛卡尔乘积图，在此笛卡尔乘积图中点(u，v)与(u，v)有边相连，当且仅当v=v且uu∈E(G)，或者u=u且vv∈E(H).本文首先给出路与圈笛卡尔乘积图Cm□Pn(m=2，3，4)与Pm□Cn(m=2，3，4)控制数的精确值.　　函数f: V(G)→{0，1，2}表示图G的罗马控制函数，对每个点u∈V0都与V2中的点有边相连，其中Vi={u∈V(G)|f(u）=i}.f(V(G))=∑u∈V(G)f(u）表示函数f的权重，图G的罗马控制数γR(G)是图G所有罗马控制函数f的最小权重.函数f是γR(G)-函数，若它是一个罗马控制函数且f(V(G))=γR(G).1963年，Vizing提出有关笛卡尔乘积图控制数的著名Vizing猜想γ(G□H)≥γ(G)γ(H)，引起了很大的关注，并得出了许多与Vizing猜想形式类似的结果，本文另一个重要结果是用罗马控制给出了与Vizing猜想有关的γ(G□H)的一个下界:对任意的无孤立点图G和H，有γ(G□H)≥1/4γR(G)γR(H)成立.　　最后得到了与Vizing猜想有关γR(G□H)的一个下界:对任意的无孤立点图G和图H，有γR(G□H)≥γ(G)γ(H)+ min{γ(G)，γ（H）}成立，为后续罗马控制数的研究有更进一步的帮助.　　本文的组织结构为:第一，二章先介绍控制数和Vizing猜想的研究背景及国内外的研究现状，介绍了图论中的基本概念及专业基础知识.第三，四，五章分别介绍本文的三个主要研究成果.第六章总结全文的主要研究成果，并在此基础上指明了我们可以进一步研究的方向.