近年来,大量的试验结果表明基于整数阶导数建立的某些模型不能很好地反映现实世界中的一些现象,如反常扩散和复杂粘弹性材料.其中一个主要的原因是传统的整数阶导数由函数的极限定义,其反映的是一个局部的性质.这使得具有非局部特性的分数阶微积分算子受到了广泛关注.然而,由于绝大多数分数阶微分方程的精确解不能被显式给出,对其数值解的研究变得十分必要和重要.鉴于此,本文将引入或改进若干数值方法,以期获得几类空间分数阶和时空分数阶偏微分方程的数值解.在第一章,我们简要回顾了分数阶微积分的发展历程,介绍了求解分数阶微分方程的常用数值方法及其理论,尤其对有限差分方法在这一领域的应用给出了较为详细地介绍,最后给出了将在后续章节频繁用到的一些定义和符号.在第二章,针对一类空间分数阶Schr(o|")dinger波方程,我们导出了它在连续形式下的两个守恒量,提出了一个自封闭的三层线性差分格式,并且讨论了提出格式的守恒能力和精度,借助于数值算例对格式的守恒性能和精度进行了验证.在第三章,考虑了一类强耦合的空间分数阶Schr(o|")dinger方程.本章内容是对第二章工作的推广.同样,我们给出了方程本身具有的两个守恒量,提出了一个非线性的守恒型差分格式,并证明了格式的可解性、稳定性和l∞范数下的收敛性.为提高计算效率,进一步给出了一个线性的守恒型差分格式.数值试验验证了这两种格式的有效性.在第四章,就单个和耦合情形的时空分数阶Schr(o|")dinger方程构造了相应的Crank-Nicolson差分格式及其线性化格式.详细地分析了这些格式的局部截断误差、稳定性和解的存在性,并给出了这两种情形下的数值结果.这项工作的意义在于为这类问题提供了一种新的数值解法,尤其是为耦合问题提供了稳定且有效的线性格式.在第五章,考虑了一类二维半线性的空间分数阶阻尼波方程.该方程有着广泛的应用背景,空间分数阶telegraph方程、sine-Gordon方程和Klein-Gordon方程都可视为它的特殊情形.针对该阻尼波方程,提出了一个有二阶时间精度和四阶空间精度的紧致差分格式,并讨论了格式的可解性和收敛性.为提高计算效率,进一步构造了一个交替方向的紧致差分格式.最后,对应前述三类方程的数值结果验证了格式的有效性.在第六章,提出了一类求解空间分数阶扩散方程的高精度算法.这类算法通过联合分数阶紧致差分逼近和边值方法得到,具有四阶空间精度和四阶、五阶、六阶甚至更高阶的时间精度.为求解产生的大型线性系统,Strang-型、Chan-型和P-型预处理子被引进.当所用边值方法Ak1,k2-稳定时,用GMRES方法求解与Strang-型预处理子相对应的预优系统被证明是快速收敛的.数值算例验证了方法的收敛速率和高精度.在第七章,我们对本文工作做了一个简要的总结,然后罗列了一些有待进一步研究的问题.