图像处理过程中,保持图像的边缘、纹理等重要结构特征是非常重要的。要保持这重要的图像信息,在图像处理时就要对图像中的卡通、边缘、纹理及噪声等不同成分进行区分和处理,也就需要对图像的不同成分进行合适的数学建模。本论文结合图像去噪问题的研究,利用小波分析理论与方法、函数空间图像建模理论与方法以及新的数学工具如分数阶导数等,探索对图像中的不同成分的新的建模方法,并在此基础上利用正则化理论和方法、算子分裂法、变分法等提出新的图像去噪变分PDE模型和算法。论文结合图像去噪提出的基于分数阶变分PDE的图像建模理论和方法,可以进一步推广到图像分割、超分辨率重建等其它图像处理领域,具有重要的理论意义和广泛的实际应用前景。本文取得的主要成果及创新点包括：(1)利用负指数Sobolev空间对图像的纹理进行多尺度建模,并用正交小波变换下Sobolev空间中的多尺度范数来进行刻画,在此基础上提出了负指数Sobolev空间中的多尺度变分PDE图像去噪模型。针对提出的多尺度变分模型,提出了三种数值算法,从理论上分析并证明了算法收敛的充分条件。数值实验表明,利用负指数Sobolev空间对纹理和进行多尺度建模,可以更好地对图像中不同尺度的纹理和噪声进行区分和刻画,所提出的多尺度变分PDE图像去噪模型能在去有效提高峰值信噪比的同时更好地保持图像纹理等细节信息,在本文所提出的三种去噪算法中,基于算子分裂思想提出的交替投影算法是最快速稳定的算法。(2)利用分数阶导数对图像进行建模,在此基础上提出了分数阶变分PDE图像去噪模型及算法。首先,利用Fourier变换域定义的分数阶导数对图像进行建模,提出一种连续形式的分数阶变分PDE图像去噪模型,并设计了求解模型的离散梯度下降算法。其次,利用空域中的Grumwald-Letnikov分数阶导数对图像进行建模,分别从连续和离散两个角度提出新的分数阶图像去噪变分模型及算法。从连续建模角度,利用Grumwald-Letnikov分数阶导数和特定卷积积分等价关系,建立了一种连续形式的基于卷积积分的分数阶图像去噪变分模型,并设计了相应的离散梯度下降算法。从离散建模角度,将离散意义下的总变分和有界变差空间进行了推广,构造新的离散意义下的分数阶总变分和分数阶有界变差空间(BVα空间),研究了分数阶总变分及其共轭算子的性质,利用分数阶有界变差空间对图像进行建模,建立了离散意义下的分数阶图像去噪变分模型。对所建立的离散分数阶变分模型,设计了空间投影算法,并对算法的收敛性进行了分析,给出并证明了算法收敛的充分条件。数值实验表明,利用分数阶导数对图像进行建模,可以在有效改善峰值信噪比同时,较好地抑制“阶梯效应”,保持图像的纹理细节。在所提出的三种算法中,针对离散模型提出的空间投影算法是计算量最小、速度最快的算法。(3)将负指数Sobolev空间中的多尺度图像建模和基于分数阶导数的图像建模进行耦合,提出了统一的分数阶多尺度变分图像去噪模型,设计了求解分数阶多尺度变分模型的交替投影算法,对算法的收敛性进行了分析,并给出了算法收敛的充分条件。数值实验表明,耦合模型综合了两种建模方法的优点,在峰值信噪比改善、纹理保持以及“阶梯效应”抑制方面比耦合前的两种模型都具有更好的效果。在统一的多尺度分数阶变分模型基础上,对模型进行进一步改进,并利用图像的局部方差等统计信息,对图像的“纹理区域”和“非纹理区域”进行区分,利用小波系数的幅值和函数正则性之间的关系分析图像各个尺度的正则性,在此基础上提出了参数自适应选择方法以及自适应交替投影算法。数值实验表明,自适应算法在图像的“非纹理区域”具有良好的去噪效果和“阶梯效应”抑制能力,在“纹理区域”具有良好的纹理保持能力,是一种快速高效的图像去噪方法。(4)基于f=u+v+w和f=u+uv两种图像分解形式,利用提出的分数阶导数图像建模和负指数Sobolev空间中的多尺度图像建模方法,分别对加性噪声去噪和乘性噪声去噪问题,提出新的分数阶图像去噪变分模型及算法。首先,基于f=u+v+w的图像分解形式,利用分数阶导数,构造了新的Gμα空间,并在此基础上提出了针对加性噪声去噪的两种分数阶变分模型：第一,利用BV_α、G_μ~α空间和负指数Sobolev空间分别对图像的卡通、纹理及噪声进行建模,提出了新的分数阶变分模型及算法；第二,利用BVα空间、Gμα空间以及齐次BesOv空间B∞-1.∞，分别对图像卡通、纹理以及噪声分别进行建模,提出新的分数阶变分模型及算法。数值实验表明,利用分数阶、多尺度函数空间对图像卡通、纹理及噪声分别建模,使得对图像不同成分的建模更加精细,所提出的分数阶多尺度噪模型在峰值信噪比改善、纹理保持以及“阶梯效应”的抑制方面都有较好的效果。其次,基于f=u+uv的图像分解形式,针对噪声分别分服从Gauss分布和Gamma分布的乘性噪声去噪问题,利用BV_α空间和负指数Sobolev空间对图像的不同成分进行建模,建立了相应的分数阶多尺度图像去噪变分模型,提出了模型参数的自适应选择方法,并设计了相应的数值算法。数值实验表明,对于乘性噪声去噪问题,本文提出的分数阶多尺度变分模型及算法在峰值信噪比改善、图像细节保持以及“阶梯效应”的抑制方面同样具有较好的效果。