【摘 要】
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实数表示理论与Diophantine逼近理论和分形理论息息相关.本文主要研究的问题如下:第一 Ostrogradsky展式和Sylvester展式中字符的相对增长性质;Jarník-like集的Hausdorff维数,Lüroth展式中精确逼近集的度量性质.我们主要从度量和维数两个角度刻画了集合的大小.本文共有六个章节.前两章分别介绍了问题的研究背景和一些基础知识,后续的三章则对上述问题进行详细的
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实数表示理论与Diophantine逼近理论和分形理论息息相关.本文主要研究的问题如下:第一 Ostrogradsky展式和Sylvester展式中字符的相对增长性质;Jarník-like集的Hausdorff维数,Lüroth展式中精确逼近集的度量性质.我们主要从度量和维数两个角度刻画了集合的大小.本文共有六个章节.前两章分别介绍了问题的研究背景和一些基础知识,后续的三章则对上述问题进行详细的讨论.在第三章中,我们研究了第一 Ostrogradsky展式中字符的相对增长速率,即确定了例外集{x （?）[0,1):qn（x）≥Φ（n）对无穷多个 n（?） N 成立}和{x （?）[0,1):qn（x）≥Φ（n）,n （?） N}的Hausdorff维数,其中Φ是定义在N上的正函数,{qn（x）}n≥1是x的第一 Ostrogradsky展式的字符序列.此外,令（?）是相应的收敛因子,我们考虑了能被无穷多个收敛因子很好逼近的点的集合,即Jarník-like集:（?）对无穷多个n（?）N成立}.在第四章中,我们考虑了 Sylvester展式中字符为一般增长速度的问题,即定义集合（?）其中Φ是定义在N上的正函数,{dn（x）}n≥1是x的Sylvester展式的字符序列.我们证明了当集合E（Φ）\{1}非空时,E（Φ）的Hausdorff维数是lim（?）我们也考虑了满足（?）或∞的点构成的集合.另外,对任意的v≥ 0,我们得到了 Jarník-like集（?）的Hausdorff维数是1/（v+1）,其中（?）是相应的收敛因子序列.在第五章中,我们研究了 Lüroth展式中精确逼近集F（β）={x（?）(0,1]:dn+1（x）≥ qnβ（x）对无穷多个 n（?）N成立}的度量性质,即确定了该集合的Lebesgue测度和Hausdorff维数,此处{dn（x）}n≥1和{qn（x）}n≥1是x的Lüroth展式的字符序列和收敛因子的分母序列.我们也得到了集合（?）和（?）的Hausdorff 维数.最后,在第六章中,我们将本文的主要结果进行了归纳,同时提出了开放性问题以供进一步研究.
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