奇异积分方程在数学物理和流体力学等科学工程问题中应用非常广泛,要想解决这些实际问题需要对积分方程进行求解,而积分方程的解析解一般很难求出,故需要设计算法求出积分方程的数值解.本文研究第二类弱奇异线性和非线性Volterra积分方程,该方程的典型特征是解在零点处导数奇异.本文旨在求出解在零点的Puiseux级数展开式,由此可以刻画解在奇点的奇异程度,再利用该Puiseux级数展开式,设计问题的高精度算法.全文共分为四章.第一章首先介绍Volterra积分方程的发展历程,对线性和非线性Volterra积分方程研究现状做简单介绍,并给出本文的研究目标和计划安排.第二章介绍本文需要用到的预备知识,包括函数在奇异点的Puisuex级数展开式,Laplace变换和Laplace反演变换,修正的复合梯形公式及非线性Volterra积分方程解的存在唯一性定理.第三章研究第二类线性弱奇异Volterra积分方程.通过对方程的卷积形式进行Laplace变换求出方程解的Laplace变换.假定自由项在零点存在Puiseux级数展开式,利用Laplace逆变换求出解在零点的Puiseux级数展开式.由于解的形式比较复杂,针对四种简单情形求出Puisuex的具体形式,这样可更清楚地刻画方程的解与自由项的依赖关系.由于该级数展开式仅在零点附近逼近精度高,本文使用Laplace反演变换得到积分方程的数值解.本章又将这些算法应用到积分-微分方程和积分方程组,数值算例表明算法具有高精度.第四章研究第二类非线性弱奇异Volterra积分方程.利用Picard迭代和级数分解得到解在奇点的Puiseux级数的有限项截断,并利用该级数展开式设计修正的梯形公式.本章推广Gronwall不等式,并利用该不等式给出格式的误差估计,证明了格式的收敛性.数值算例验证算法是高效可行的.