随着当今金融市场的快速发展,风险控制问题已经引起人们越来越多的关注.在刚刚过去的2008年,金融危机席卷全球.一场始于美国银行业的金融危机给世界许多国家的经济和金融市场带来极大的冲击.一个引人注目的问题是:我们应该怎样度量金融市场中的风险?当前金融风险分析领域中著名的风险度量有一致性风险度量（参见Artzner et al.[2,3]）和凸风险度量（参见F（?）llmer and Schied[37,38,39]及Frittelli and Rosazza Gianin[40,41]）.在1997年,彭实戈[69]通过倒向随机微分方程引入了g-期望的概念.研究发现g-期望能够构造一致性风险度量和凸风险度量（参见[84]）.江龙[51]进一步给出了g-期望构造的风险度量ρ^g是一致性风险度量或者凸风险度量的充分必要条件.彭实戈[74]在2006年又引入了一种新的非线性期望-G-期望.G-期望是由生成元函数为G的非线性抛物型偏微分方程的解定义的.与g-期望框架相比,由于G-期望不需要构建在一个给定的概率空间上,所以G-期望理论更加深刻一些.由G-期望构造的风险度量是一致性风险度量.由于g-期望和G-期望在金融中有重要应用,关于g-期望和G-期望理论的工作不断涌现.在过去的近十年中,g-期望理论受到众多数学家和金融学家的广泛的关注,不管在基础理论还是在应用方面,都产生了许多优秀的工作,例如,[10],[13],[14],[15],[16],[17],[36],[44],[48],[49],[51],[70]和[87].G-期望是一个较新的理论.自从G-期望的概念被提出以来,这个有趣的理论便迅速发展起来.彭实戈获得了在G-期望框架下的大数定律和中心极限定理（参见[76]和[77]）.G-期望的其他一些性质可以参见Deniset al.[28]和彭实戈[75,78].本文主要研究了非线性期望的一些基本问题和它们在风险度量和非线性定价理论中的应用,共分为四章,以下是本文的结构和得到的主要结论.一、第一章主要研究关于g-鞅的基本不等式,包括:两种形式g-鞅的极大不等式,g-鞅的Kolmogorov不等式和Doob型g-鞅不等式.对如下形式的倒向随机微分方程（BSDE）如果BSDE的生成元g满足（H1）:Lipschitz条件与（H2）:平方可积条件,则BSDE（0.0.1）存在唯一的一对平方可积的适应解（y_t,z_t）_t∈[0,T].如果g还满足（H3）:g（t,y,0）≡0,那么将BSDE（0.0.1）的解y_t记为ε_g[ξ|F_t],并称之为ξ的条件g-期望;将y₀记为ε_g[ξ],并称之为ξ的g-期望.通过一个非线性期望可以定义出一个非可加概率:P_g（A） =ε_g[I_A],其中I_A是集合A的示性函数.首先,我们介绍如下两种形式g-鞅的极大不等式.定理1.3.2设方程g满足（H1）,（H3）和（H4）:（?）,并且X=（X_t）_0≤t≤T是一个右连续g-上鞅.那么对正整数λ> 0,下式成立设μ是任意一个给定的非负常数,当g（t,y,z） =-μ|z|时,我们将ε_g[·]记为ε^-μ[·];当g（t,y,z） =μ|z|时,将ε_g[·]记为ε^μ[·].定理1.3.5设方程g满足（H1）和（H3）.X=（X_t）_0≤t≤T是一个右连续g-上鞅,并且满足（?）.则对λ> 0,我们得到定理1.3.2中的不等式比定理1.3.5中的不等式更精确.然而,定理1.3.5中极大不等式的适用范围更广.接下来,我们介绍g-鞅的Kolmogorov不等式和Doob型g-鞅不等式.定理1.4.3（g-鞅的Kolmogorov不等式）假设函数g满足（H1）与（H3）.另外假设g不依赖于y并且g关于z是超齐次的,即对任意λ∈R,z∈Rⁿ,都有g（t,λz）≥λg（t,z）.如果X =（X_t）_0≤t≤T是一个右连续g-鞅,并且满足（?）.那么,对任意λ>0,下式成立定理1.5.2（Doob型g-鞅不等式）假设函数g满足（H1）,（H3）和（H4）,并且不依赖于y.对任意（t,z,v）∈[0,T]×Rⁿ×R⁺,g满足g（t,λz）≥λg（t,z）.如果X =（X_t）_0≤t≤T是一个右连续非负g-下鞅.则对任意整数λ>0,下式成立二、第二章深入系统的研究了基于G-期望的Jensen不等式的问题,得到了Jensen不等式成立的充分必要条件,并且给出了基于G-期望的Jensen不等式在G-鞅理论中的应用.首先简单介绍一下G期望的框架.Ω= C₀（R⁺）是由零初值连续轨道（ω_t）_t∈R⁺构成的空间.H是定义在Ω上的函数构成的向量格.E[·] : H→R是一个次线性期望.则三元组（Ω, H, E）称为次线性期望空间.下面我们介绍一下标准空间.对任意ω∈Ω及t≥0,记B_t（ω）=ω_t.对固定的T≥0,我们考虑如下随机变量空间。其中C_l.Lip（Rⁿ）代表所有满足|φ（x）-φ（y）|≤C（1 + |x|^m +|y|^m）|x - y|, （?）x, y∈Rⁿ,C>0,m∈N的函数φ组成的空间.对t≤T,显然有（?）定义（?）.给定生成元函数G（α） = （?）（α⁺-σ₀²α^-）,α∈R,σ₀∈(0,1].如果对所有的φ∈C_l.Lip（R）,次线性期望空间（Ω, H, E）上的随机变量ξ能够使是如下抛物型偏微分方程的唯一解,则称ξ服从G-正态分布.对任意0≤t₁<,...,< t_m <∞和φ∈C_l.Lip（R^m）,如果次线性期望E[·]满足其中（?）,则这个次线性期望E[·]称为定义在L_ip（F）上的G-期望.标准过程（B_T）_t≥0称作G-期望下的G-布朗运动.在范数E[|·|]下,把空间L_ip（F_T）(L_ip（F）)完备化可得到L_G¹（F_T）（L_G¹（F））.次线性期望E[·]可以唯一的扩张到空间L_G¹（F）上.经典数学期望的Jensen不等式是现代概率论与鞅论中的一个基本不等式,可描述为:对定义在R上的凸函数h与可积随机变量X和h（X）,下式成立当h是凹函数时,该不等式反向成立.我们找到一个反例表明,对一个简单的凹函数,基于G-期望的Jensen不等式不成立.很自然我们要问,在什么条件下,基于G-期望的Jensen不等式能够成立?首先考虑h是凸函数时,基于G-期望的Jensen不等式成立的条件.定理2.3.2设h为定义在R上的连续函数.则以下两个条件等价:（i）函数h是凸函数;（ii）下面基于G-期望的Jensen不等式成立:对任意X∈L_G¹（F）,如果h（X）∈L_G¹（F）,则有当h是凹函数时,上述Jensen不等式会像线性期望情形一样,不等号反方向自然成立吗?即不等式对所有凹函数都成立吗?反例已经告诉我们,答案是不成立.接下来,我们给出这个Jensen不等式成立的充分必要条件.我们可以把G-期望E[·]，凹函数h和随机变量X看作Jensen不等式（0.0.2）的三个参数.为使Jensen不等式（0.0.2）成立,我们分别给出关于E[·],h和X的三个充分必要条件.主要结论将在接下来的三个定理中阐明.定理2.4.1对任意的X∈L_G¹（F）与凹函数h:R→R,下面两个条件是等价的:（i）E[·]是线性期望;（ii）基于G-期望的Jensen不等式成立,即:对任意X∈L_G¹（F）及凹函数h,如果h（X）∈L_G¹（F）,则定理2.4.5设h为定义在R上的可微函数,下面两个条件是等价的:（i）函数h是非减凹函数;（ii）基于G-期望的Jensen不等式成立.定理2.4.9设h为定义在R上的凹函数,下面两个条件是等价的:（i）随机变量X∈L_G¹（F）不具有均值不确定性,即:X满足E[-X]= -E[X];（ii）基于G-期望的Jensen不等式成立.条件G-期望的性质与G-期望类似,关于条件G-期望,我们可以很自然的推出与本章类似的结论.作为G-期望的Jensen不等式在G-鞅理论中的一个应用,我们得到如下定理.定理2.5.2（1）随机过程X和Y是两个G-鞅,则X+Y是G-上鞅.（2）设随机过程X是G-鞅,h是一个凸函数.如果对任意t≥0,h（X_t）∈L_G¹（F_t）,则（h（X_t））_t≥0是G-下鞅.（3）设随机过程X是G-鞅,h是一个非减凹函数.如果对任意t≥0,h（X_t）∈L_G¹（F_t）,则（h（X_t））_t≥0是G-上鞅.我们给出两个关于G-鞅的非常有趣的例子,例子所说明的结论与经典鞅论是完全不同的.例2.5.5随机过程（?）是一个G-鞅,其中B为G-布朗运动.h（x） =-e^x,x∈R是一个凹函数.经过计算可推出（h（M_t））_t≥0是一个G-下鞅.例2.5.6随机过程（?）是一个G-鞅,其中c是常数.h（x） = -x², x∈R,是一个凹函数.（h（M_t））_t≥0要么是一个G-鞅,要么是一个G-下鞅,这取决于参数c的取值.三、第三章从两个角度分别研究了关于非线性半群的Jensen不等式.前一章已经研究了基于G-期望的Jensen不等式.G-期望是通过一个非线性半群构造出来的,而这个非线性半群是由一个具有给定生成元函数G的非线性抛物型偏微分方程生成的.本章讨论的半群是由具有更一般的生成元函数F的非线性抛物型偏微分方程生成的.我们研究关于这类更一般的半群的Jensen不等式问题.该生成元函数F:R^d×S_d→R仅仅满足使偏微分方程存在唯一粘性解的下面两个简单假设条件.（A1）如果Y≤x,则有F（p, Y）≤F（p, X）;（A2）存在函数ω: [0,∞)→[0,∞)满足ω（0+） = 0,使得F（α（x - y）, X） - F（α（x - y）, Y）≤ω（α|x - y|² + |x- y|）成立,其中α>0,X,Y满足设F∈C（R^d×S_d）满足假设（A1）-（A2）.对任意的φ（·）∈C_l.Lip（R^d）,考虑如下非线性抛物型偏微分方程其中（?）.方程（0.0.3）存在唯一粘性解（参见Crandall et al.[21]）.我们定义很容易验证（T_t^F）_t≥0是一个定义在C_l.Lip（R^d）上的半群.通过这种一般化的半群可以构造出很多类型的相容非线性期望.所以,研究这类半群的Jensen不等式得到更一般的结论.首先,我们得到关于生成元函数F的充分必要条件,在该条件下Jensen不等式对任意凸函数h成立.当h是凹函数时也可以相应地得到一个充分必要条件.定理3.2.1设F满足（A1）和（A2）.则以下两个条件等价:（i）F是超齐次的,即:F（λp,λA）≥λF（p,A）,（?）（p,A）∈R^d×S_d,λ∈R;（ii）对任意的φ∈C_l.Lip（R^d）和凸函数h:R→R,如果（?）,则有定理3.2.2设F满足（A1）和（A2）.则以下两个条件等价:（i）F是次齐次的,即:F（λp,λA）≤λF（p,A）,（?）（p,A）∈R^d×S_d,λ∈R;（ii）对任意的φ∈C_l.Lip（R^d）和凹函数h:R→R,如果（?）,则有定理3.2.3在假设条件（A1）和（A2）下,设F（p,A）_{（p,A）∈R^d×Sd}关于p和A是凸的,并且F（0,0）=0.则以下两个条件等价:（i）对任意的φ∈C_l.Lip（R^d）和凸函数h:R→R,如果（?）,则有（ii）F（p,A）=（?）,其中Q（?）R^d×S_d⁺.定理3.2.5在条件（A1）和（A2）下,设F（p,A）_{（p,A）∈R^d×Sd}不依赖于p,即:F（p,A）≡F（A）,并且关于A是凸的.假设F还满足F（0）=0.那么下面两个结论成立:（i）对任意的φ∈C_l.Lip（R^d）和凸函数h:R→R,如果（?）,则（?）.（ii）当d=1时,结论（i）中函数F可以表示为:F（a） = k₁|a| +k₂a,其中k₁,k₂≥0,k₂≥k₁.其次,我们换一个角度研究这个问题.对任意固定的生成元函数F,我们给出对满足Jensen不等式的函数h的刻画,得到如下结果:定义3.3.1 h : R→R是一个二阶连续可微函数,如果对任意（y, z, A）∈R×R^d×S_d,下面不等式成立则称h为F-凸函数.如果不等式（3.3.23）反向成立,则称h为F-凹函数.定理3.3.2下面两个断言是等价的:（i）h是F-凸函数;（ii）下列Jensen不等式成立:对任意的φ∈C_l.Lip（R^d）和h∈C²（R）,如果（?）,则有定理3.3.5下面两个断言是等价的:（i）h是F-凹函数;（ii）下列Jensen不等式成立:对任意φ∈C_l.Lip（R^d）和h∈C²（R）,如果（?）,则有再次,我们得到了G-凸函数(参见[78]和经典凸函数之间的关系,以及G-凹函数和凹函数的关系.定理3.4.3假设h∈C²（R）,那么下面两个条件是等价的:（i）h是G-凸函数;（ii）h是凸函数.定理3.4.6假设h∈C²（R）,那么下面两个条件是等价的:（i）h是G-凹函数;（ii）h是非减凹函数.在本章的最后,我们介绍G-凸函数在G-鞅中的一个应用.定理3.4.12设（X_t）_t≥0是G-鞅.如果函数h使h（X_t）∈L_G¹（F_t）对所有t≥0成立,那么下面两个条件等价:（i）h是G-凸函数;（ii）（h（X_t））_t≥0是G-下鞅.四、在第四章,我们通过前一章介绍的非线性半群构造了一个相容非线性期望-F-期望.本章中的生成元函数F满足假设条件（A1）,（A2）和（A3）F（0,0）=0.我们首先系统的研究了F-期望的性质,然后把这些性质应用于金融风险度量问题的研究.首先,我们证明了F-期望（?）[·]具有单调性,保常数性和平移不变性.研究发现F-期望的许多性质是由生成元函数F的性质决定的.我们得到了结论:当且仅当F-期望的生成元函数F分别满足次可加性,正齐次性和凸性时,F-期望也相应的具有次可加性,正齐次性和凸性.条件F-期望（?）[·|F_t]也有类似结论.关于F-期望在金融风险度量中的应用,我们先介绍定义4.4.1假设F满足假设（A1）-（A3）,如下定义ρ^F:L_ip⁰（F_T）→R和ρ_t^F:L_ip⁰（F_T）→L_ip⁰（F_T）:则ρ^F称作F-期望引导出的静态风险度量,ρ_t^F称作条件F-期望引导出的动态风险度量.下面,利用我们得到的F-期望的性质,我们建立了F-期望与著名的一致性风险度量（coherent risk measure）和凸风险度量（convex risk measure）之间的关系.定理4.4.2假设F满足（A1）-（A3）.风险资产空间为Χ=L_ip⁰（F_T）.若ρ^F为F-期望引导出的静态风险度量.那么下面三个条件等价:（i）ρ^F是一致性风险度量;（ii）F-期望（?）[·]满足次可加性和正齐次性;（iii）F满足次可加性和正齐次性.定理4.4.3在与定理4.4.2相同的假设条件下,以下三个条件等价:（i）ρ^F是凸风险度量;（ii）（?）[·]是凸的;（iii）F是凸函数.定理4.5.5假设F满足（A1）-（A3）.风险资产空间为Χ=L_ip⁰（F_T）.若（ρ_t^F）_t∈[0,T]为F-期望引导出的动态风险度量.那么下面三个条件等价:（i）ρ_t^F是动态一致性风险度量;（ii）条件F-期望（?）[·|F_t]满足次可加性和正齐次性;（iii）F满足次可加性和正齐次性.定理4.5.6在与定理4.5.5相同的假设条件下,以下三个条件等价:（i）ρ_t^F是动态凸风险度量;（ii）（?）[·|F_t]是凸的;（iii）F是凸函数.条件F-期望引导出的动态风险度量还满足下面一些好的性质.定理4.5.9（ρ_t^F）_t∈[0,T]是条件F-期望引导出的动态风险度量,那么它满足如下性质:（i）递归性（Recursiveness）:对任意的X∈L_ip⁰（F_T）,（ii）时间相容性（Time consistency）:对任意的X,Y∈L_ip⁰（F_T）,