拟共形映射是Gr（?）tzsch在研究平面上的正方形到长方形且保顶点对应的Riemann映射定理时提出的,随后这一概念被推广到欧氏空间Rn中,它是共形映射的推广.在20世纪90年代,V（?）is（?）l（?）把拟共形映射的概念推广到Banach空间,定义了自由拟共形映射（简称为FQC映射）,并对此几何特征进行了研究,得到了系列结果,从而建立了 Banach空间中自由拟共形映射的基本理论.众所周知,拟对称映射（简称为QS映射）是拟共形映射（简称为QC映射）,而QC映射不一定具有拟对称性.因此,QC映射与QS映射之间关系的研究受到了许多数学学者的关注.本文主要研究Banach空间中拟共形映射与拟双曲度量下的拟对称映射（简称为QHQS映射）之间的关系,从而回答了在特殊条件下V（?）is（?）l（?）于1999年提出的一个公开问题.本文总共由四个部分构成,具体安排如下:第一章,我们主要介绍了本学位论文研究问题的背景、研究现状及主要结果.第二章,我们介绍了QC映射、QS映射等相关概念和一些常用的不等式.第三章,我们研究了V（?）is（?）l（?）于1999年提出的公开问题:设G和G’分别是Banach空间E和E’中的子域,同胚映射f:G → G’是η-QHQS映射,那么f是否是φ-FQC映射,其中φ依赖于函数η?得到了在Q-正则（Q ≥1）条件下,此问题的回答是肯定的.同时本章还证明了论文的主要结果所需要的辅助引理.第四章,我们证明了本文的主要结果,即在Q-正则（Q ≥1）条件下,QHQS映射和FQC映射是等价的,从而给出了上述公开问题在Q-正则条件下的肯定回答.