【摘 要】
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设G=（V（G）,E（G））是一个简单图,其中|V（G）|=n,|E（G）|=m.一个无孤立点的图G的全控制集是图G的一个顶点子集D,使得图G中的每个顶点都至少与D中的一个点相邻.全控制数为图G的一个全控制集最小的基数,我们记为γt（G）.令d1,d2,…,dn为图G的不减度序列,图G的毁灭数a（G）是最大的整数k,使得图G中k个不同点的度数之和至多为边数m,即∑i=1k di ≤m.一个点集S叫
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设G=（V（G）,E（G））是一个简单图,其中|V（G）|=n,|E（G）|=m.一个无孤立点的图G的全控制集是图G的一个顶点子集D,使得图G中的每个顶点都至少与D中的一个点相邻.全控制数为图G的一个全控制集最小的基数,我们记为γt（G）.令d1,d2,…,dn为图G的不减度序列,图G的毁灭数a（G）是最大的整数k,使得图G中k个不同点的度数之和至多为边数m,即∑i=1k di ≤m.一个点集S叫做毁灭集如果有∑v∈Sd（v）≤m.如果有| S |=a（G）,那S叫做最优毁灭集.如果集合I中的任意两个顶点都是不相邻的,那我们称集合I为图G的独立集.最大独立集的阶数称为独立数,我们记为α（G）.图G的匹配是边子集M,使得M中的任意两条边都不相邻.图G的匹配数β’（G）是最大匹配边数.图G的分数匹配是定义在边集上的函数f:E（G）→[0,1],使得对于每个顶点v都有∑e∈Γ（v）f（e）≤ 1,Γ（v）表示的是与顶点v相关联的所有边的集合.分数匹配数β（G）=max∑e∈E（G）f（e）.本文一共分为四章,主要研究全控制数和毁灭数的关系以及独立数与分数匹配数之间的关系.第一章,我们主要介绍了研究课题的背景及意义,给出了论文中所涉及的符号和概念,阐述了相关领域的研究现状,并罗列出本文的主要结果.第二章,我们讨论了Henning猜想.2013年,Henning等人提出有关于全控制数与毁灭数的猜想:令G是一个阶数n（G）≥ 2的连通图,那么有γt（G）≤ a（G）+1.我们对似树图的全控制数与毁灭数进行研究,证明了这一猜想对于似树图也是成立的,从而推广了已有的结果.第三章,我们在随机图上讨论了独立数与分数匹配数之间的关系.因为匹配是分数匹配的一种特殊情况,有β（G）≥β’（G）,所以对于匹配数成立的结果对于分数匹配数也是成立的.我们在随机图上考虑独立数与分数匹配数之间的关系,不需要限制最大度或者考虑图中是否含有三角形,我们只需要考虑任意两点之间连边的概率.本章节我们主要证明了:令G=G（n,p）,如果0<p<1-e-20/4n+13,几乎可以确定13/8α（G）+β（G）≥n（G）和α（G）+18/13β（G）≥n（G）是成立的.第四章,我们指出了可进一步研究的问题.
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