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细分方程是小波分析中的核心方程，多尺度分析在小波分析中举足轻重，通过多尺度分析可以构造好的小波，而细分方程的解如果有好的性质并再加上其他的条件就可以构造多尺度分析，从而构造了小波，对研究起着至关重要的作用。因此，细分方程既然具有如此重要的地位，那么对它的工作则是不容忽视的。本文的主要研究成果也就是围绕这细分方程来展开的。
本文主要研究如下形式的向量细分方程：其中向量函数φ=Φφ1，…，φR)T属于(L2(RS))r，a：=(a(α))α∈Zs是一个多项式衰减的r×r矩阵序列，称为细分面具，M是一个s×s整数矩阵，并且满足lim M—n=0，称为整数扩张矩阵．
与面具a相关的Cascade算子如下定义：迭代格式(Qnaf)n=1，2，…，被称为向量Cascade算法．面具是紧支集的细分格式收敛性的研究的理论体系至今已经很完美，它在证明的过程中主要依靠了算子的联合谱半径；而在面具是非紧支集的细分格式收敛性的研究上，却只能采用泛函分析理论中紧算子的性质。本文的主要研究成果包括以下几个方面：
(1)在提出的限定的Banach空间上，当空间是一维和高维时，分别讨论了转移算子Ta的性质：是有界的且是紧的算子，并且Ta限制在此空间上的谱半径是大于等于1。
(2)当面具是多项式衰减时，分别讨论了一维和高维向量细分格式L2收敛的充要条件；并且当r=1时，从初始函数的平移稳定性方面给出了细分格式L2收敛的充分条件。
(3)当面具是多项式衰减时，对于非向量r=1的情形，分别刻画了一维和高维时细分方程解的光滑性，细分函数是属于某个Sobolev空间。