计算复杂性理论产生于对由计算模型定义的算法的数学研究.计算模型在近五、六十年逐步发展.Turing机成功地为理论计算机科学提供了基石和框架.然而经典的计算复杂性理论并不能完全地处理实数上的计算.L.Blum，M.Shub和S.Smale提出了一种能准确处理实计算的形式模型.现称之为实Turing机或BSS机器. 计算主要有两个方面：数值计算和符号计算.考虑到符号计算在很大程度上不同于数值计算，笔者在任意环或域上定义了一个新机器.与BSS机器相比较，它的定义显得很自然，尤其对处理不是全序上的环的计算特别地方便.另外，它与BSS机器有一些本质的区别，例如，做伪除的机器不能被任何的BSS机器所模仿.笔者进一步模型化了伪除算法，并讨论了它的复杂性. 同时，由于Tarski的工作，对判断代数系统可行性的算法及其复杂性的研究成为一个很热门的课题.笔者把一类特殊的代数系统求解问题转化为极值问题，然后利用剃度法和1维牛顿算法来求解.进一步，针对n变元的齐次多项式，给出一个判断其可行性的复杂性估计，它在时间上可以由一系列算术操作来衡量.这些操作是多项式依赖于条件数和输入变量的个数；单指数依赖于n.确切地，其复杂性为(bμmax(f)n7/2N4)n.