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本文综合运用临界点理论，拓扑度和单调迭代技术等非线性分析方法研究了二阶Hamilton系统和椭圆边值问题解的存在性，获得了一系列新的可解性和多重性结果，得到的主要结果如下：
第一，借助于广义山路引理，我们证明了一类非自治的具有局部超二次位势的二阶Hamilton系统周期解的存在性定理。进一步，我们还利用鞍点定理得到了包含p-Laplacian算子的一类非自治的具有次二次位势的二阶Hamilton系统周期解的存在性定理。
第二，我们使用局部环绕定理和鞍点定理，得到了一类四阶半线性椭圆边值问题弱解的存在性定理。
第三，应用Krasnoselskii不动点定理和锥上的不动点指标理论，我们研究了一类非线性项包含一阶导数项的在无穷区间上的二阶微分方程边值问题正解的存在性。进一步，我们还利用单调迭代技术，不但得到了二阶微分方程两点边值问题正解的存在性，还给出了近似解的迭代方案。