本论文主要研究了一类混合边界条件下的半线性和拟线性临界的椭圆方程和Dirichlet边界条件下的半线性和拟线性临界的椭圆系统，用变分原理和一些分析技巧得到了其解的存在性和多重性结果.　　 首先，研究了在Dirichlet-Neumann混合边界条件下具有Hardy项和Hardy-Sobolev临界指数的椭圆方程：{-△u-μu/|x|2=|u|2*(s)-2/|x|su+λ|u|q-2u，x∈Ω，B(u)=0，x∈()Ω.　　 这里，Ω是RN(N≥3)中具有光滑边界的区域，边界条件如下B(u)=ux()Ω(Σ)+()u/()vxΣ　　 其中∑是()Ω的具有正测度的(N-1)维子流形且∑≠()Ω，0∈()Ω.υ是边界的单位外法向量，x∑是∑的特征函数，1＜q＜2*(s)，()Ω是C2边界.0≤μ＜(μ)△=((N-2)/2)2，0≤s＜2，2*(s)=2(N-s)/(N-2)是Hardy-Sobolev临界指数，λ＞0是实参数.本文给出了在混合边界条件下三个重要不等式(Poincaré，Hardy和推广的Poincaré不等式).当1＜q＜2，利用Ekeland变分原理，得到此方程局部极小的第一个正解.当1＜q＜2，利用第一个正解和达到函数u*ε，选择特殊的山路和能量估计使得对应的能量泛函在局部范围内满足(PS)c条件，再利用Mountain引理找第二个正解.最后，分别得到在2＜q＜2*(s)和q=2时此问题正解的存在性结果.　　 其次，又把上述半线性问题在μ=s=0的情形推广到拟线性椭圆方程{-△pu=|u|p*-2u+λf(x，u)，x∈Ω，B(u)=0，x∈()Ω，其中f是一般扰动项，并得到了其解的存在性结果.　　 然后，研究了在Dirichlet边界条件下具有Hardy项和Hardy-Sobolev临界指数的椭圆系统：{-△u-μu/|x|2=2α/α+β|u|α-2u|v|β/|x|s+λu，x∈Ω{0}，-△v-μv/|x|2=2β/α+β|u|α|v|β-2v/|x|s+θu，x∈Ω{0}，u=v=0，x∈()Ω，利用山路引理得到了其解的存在性和多重性结果，这里α，β＞1满足α+β=2*(s)，0∈Ω.　　 最后，我们又研究了具有Sobolev临界指数的拟线性椭圆系统：{-△pu=λ|u|q-2u+2α/α+β|u|α-2u|u|β，x∈Ω，-△pv=μ|v|q-2v+2β/α+β|u|α|v|β-2v，x∈Ω，u=v=0，x∈()Ω，除了应用变分原理和一些分析方法，关键的技巧就是构造了区域Ω与能量水平之间的同伦，得到了其catΩ(Ω)个正解的存在性结果.这里0∈Ω，N≥p2，2≤p≤q＜p*，λ，μ＞0，α，β＞1满足α+β=2*(s).