基于几何奇摄动理论,结合blow-up技巧、Melnikov方法及相平面分析法等,本文研究若干奇异摄动系统的分支和非线性波问题,包括一类平面奇摄动系统“奇异”次临界点的分支,一类扰动广义Beniamin-Bona-Mahony（BBM）方程新的孤立波解的存在性问题,以及一类扰动Degasperis-Procesi（D-P）方程孤立波解的存在性.全文分为五章:第一章为绪论.本章主要介绍论文的研究背景、几何奇异摄动理论以及全文的结构安排.第二章基于几何奇异摄动理论和blow-up技巧,研究一类平面奇摄动系统在“奇异”次临界点领域的分支行为.通过对层系统（ε=0）、坐标卡K1（x=1）及坐标卡K2（ε=1）上的全局动力学分析,并对坐标卡间的轨道进行匹配和连接,揭示了平面奇摄动系统的流经过“奇异”次临界点领域时的分支行为,获知鸭解的存在性和不存在性及其对应的分支参数曲线.第三章利用几何奇异摄动理论,结合相平面分析法和“显式”的Melnikov方法,研究了一类扰动的广义BBM方程新的孤立波解的存在性问题.首先,利用行波变换和Fenichel第一不变流形定理,我们将扰动的广义BBM方程转化为一类平面Hamil-tonian 扰动系统;接着,结合相平面分析法和“显式”的Melnikov 方法,得到了 同宿于非零平衡点的“新”的孤立波解.不同于前人的工作,由于我们假设积分常数非零,因此得到孤立波解是以前没有发现的.第四章基于奇行波方法和几何奇异摄动理论,研究了一类未扰D-P方程的各种行波解的存在性及其分类以及扰动D-P方程孤立波解的存在性问题.首先,利用行波变换,将未扰D-P方程化为一类带有奇异直线的奇行波系统,其正则化系统为Hamil-tonian 系统;通过分析Hamiltonian 系统的全局相图,得到奇异行波系统的全局动力学,即未扰D-P方程的各种行波解的存在性及其分类可得.接下来,利用“显式”的Mel-nikov 方法,我们考虑一类特殊情形下扰动 D-P 方程孤立波解的存在性问题（即未扰 D-P方程孤立波的保持性问题）.由于采用“显式”的Melnikov方法,因此波速的首阶近似值可被显式地计算.第五章是对本文的总结,也给出有待进一步解决的若干问题.