自从1986年，Barnsley基于迭代函数系（Iterated Function System,IFS）理论提出分形插值函数（Fractal Interpolation Function,FIF）的概念以来，分形插值理论与方法受到了广泛关注.由于分形插值函数通常是连续而不可微的，难以用经典的微积分刻画其分析性质.又由于分形插值曲线通常有分数的维数，而分数阶微积分与分数维数有密切的关系，从而分数阶微积分成为研究分形插值函数的一个有力工具.另一方面，分形插值法在分析和预测非光滑、非规则的粗糙曲线时较传统的插值法具有更大的优势，所以该方法已被广泛应用于交通数据、金融时间序列等的分析和预测中.　　本文将开展两个方面的研究.一方面，研究一类分形插值函数的积分及纵向尺度因子扰动误差估计问题.另一方面，运用分形插值和小波分析的预测模型对空气质量指数（Air Quality Index,AQI）进行分析和预测.　　本文共分五章，结构如下：　　第一章是绪论，主要介绍本文的研究背景与意义、研究内容及国内外研究现状，以及本文的创新之处.　　第二章简要介绍分形几何和小波变换中的一些基本概念和基本定理.主要包括：分形维数、迭代函数系与分形插值、分数阶微积分、离散小波变换等.　　第三章研究一类带函数项纵向尺度因子的FIF的积分性质.在一定条件下，证明了这类FIF的积分仍是一类FIF.同时，研究当纵向尺度因子发生扰动时，d对应的FIF及其分数阶积分的扰动误差估计问题.结果表明，这类FIF及其分数阶积分对函数参量的轻微扰动不敏感.　　第四章首先运用小波变换分析空气质量指数的自相似性，然后通过Hurst参数的值来估计IFS的纵向尺度因子，并得到IFS的其他参数.最后分别运用分形插值外推法和一个统计意义上的分形插值模型对空气质量指数进行预测.通过对比平均标准误差，得出建立统计意义上的分形插值模型预测效果更好.　　第五章是总结与展望.