随着金融和保险市场的发展，风险理论已经成为金融数学和保险精算中的重要研究方向之一，金融风险管理是指公司利用金融工具来管理其风险，金融风险可以用一定的数学模型来量化，金融风险控制的核心是在什么时候以怎样的方式来通过金融衍生产品控制公司运营过程中产生的风险。　　 投资理论是研究投资者在一定的目标下选择什么样的策略对自己的资产进行投资的理论．它包括投资组合选择理论，标的资产定价模型，套利定价理论，有效市场假设等，其中投资组合选择理论是指通过选择一定的资产配置方案，对于给定的投资组合风险以最大化投资组合的期望收益为目标，或者对于给定的期望收益以最小化投资组合的风险为目标．　　 基于上面的背景以及风险分析在金融和保险中越来越重要的地位，我的博士论文主要致力于以下三方面问题的研究．首先是保险中的均值-方差最优投资问题，其次是行为金融学中的均值-方差投资组合选择问题，最后是投资连结寿险合同的风险对冲问题。我的博士论文的目标在于建立与实际问题更贴近的数学模型，并尽可能的对最优问题给出明确解，以使得最终的结果对实践能起到一个很好的指导作用，使得所得最优策略具有可操作性，为了使结果更加直观，容易理解，我们给出一些具体的数值例子以及图表来直观地说明我们的结论．下面将简要介绍各个章节的内容。　　 在第1章中，我们对保险中的最优投资问题，均值-方差投资组合选择，行为金融学，投资连结寿险合同的对冲等的历史背景以及研究现状做一个简要回顾．　　 在第2章中，我们研究了在均值，方差准则下保险人的最优投资问题。包括多个风险资产模型下的最优投资问题，卖空限制下的最优投资和最优再保险问题，马氏调节模型下的均值．方差最优问题，跳-扩散金融市场模型下的均值-方差问题，以及破产限制下的最优投资及最优再保险问题．　　 我们首先简单介绍第2章研究的背景以及我们要建立第2章的模型的原因。其次将介绍第2章各个小节研究的主要内容，方法和结论．　　 均值-方差投资组合选择理论是由Markowitz(1952)[43]提出的，现在已经成为现代金融学中的重要理论基础之一．均值-方差投资组合选择理论是指通过一定的资产配置，使得投资组合在未来某一固定时刻的收益和风险达到某种最优．Markowitz(1952)[43]研究了单周期的均值-方差最优投资组合的构造，其中风险和收益分别通过投资组合的方差和数学期望来刻画。Markowitz(1952)[43]首先给出了方差最小投资组合选择问题，即固定投资组合的数学期望，使得投资组合的方差达到最小，这样得到的投资组合称为方差最小投资组合．如果这个投资组合使得在所有与其方差相同的投资组合中达到期望最大，那么这个投资策略被称为有效策略（有效投资组合）．有效投资组合所产生的均值和方差在二维空间的集合称为有效前沿。从此，均值．方差准则成为金融理论中衡量风险的一个重要准则。见参考文献Melton(1972)[47]等。在2000年以前，即随机线性二次型控制(stochastic linear quadratic control)理论发展起来之前，关于均值一方差问题的研究主要局限于离散时间．之后，由于利用随机线性二次型控制理论的知识，可以得到这类问题的显式解，一系列文章开始考虑连续时间Markowitz模型。参见Zhou and Li(2000)[70],Li,Zhou and Lira(2002)[35],Lim and Zhou(2002)[36]以及Bielecld etal.(2005)[6]等。　　 最近几年，因为保险公司可以在金融市场中进行投资，保险人对金融市场的最优投资问题受到越来越多的关注．最先研究这类问题的是Browne(1995)[7]，其目标是最大化终端资产的期望效用，效用函数是常数绝对风险厌恶函数(expected constant absolute riskaversion(CARA) utiliW)．在Hipp and Plum(2000)[26]-文中，保险人可以投资到一个风险资产和一个无风险资产中，目标是最小化破产概率。之后，有一系列文章考虑不同准则下和不同风险模型中，保险人的最优投资问题，如Gaier et al．(2003)[21]和Wang，Xia and Zhang(2007)[64]等。Wang，Xia and Zhang(2007)[64]把均值-方差准则应用到保险人的最优投资问题中。他们假设保险人可以投资到一个风险资产和一个无风险资产中，利用鞅方法得到了均值一方差准则下的最优投资策略，受上述工作的启发，在第2章中，我们将考虑均值．方差准则下，保险人的最优投资问题．　　 为了规避较大的风险，保险人经常会进行再保险。已经有一些文章研究最优再保险问题，如Schmidli(2002)[55]，B(a)uerle(2005)[8]，Bai and Zhang(2008)[4]等．他们假设风险过程是复合Poisson过程或者带漂移的布朗运动，其中某些变量，如再保险策略，投资策略等是动态的。在不同的最优准则下得到的最优再保险策略有很大的不同。在第2.2节，2.4节以及2.5节中，我们假设保险公司可以进行再保险，以分担较大的风险。　　 为了使得模型与实际的金融市场更接近，以更好地描述金融市场的变化，常常用马氏调节(Markov-modulated)模型(参考文献中有时候称为状态转换(Regime-switching)模型）来描述金融市场。Hardy(2001)[24]对现实金融数据的的实证分析表明，相比于其他常用的金融市场模型，马氏调节的金融市场模型更接近于真实的金融市场．在这个模型中，描述金融市场的模型参数将在有限数量的状态之间进行转换。在第2.3节中，我们研究了马氏调节金融市场模型中，保险人的最优均值．方差投资问题。　　 在许多金融学参考文献中都假设股票的价格过程服从扩散型的随机过程，例如在著名的Black-Scholes-Merton金融市场中，股票（标的资产）价格是用几何布朗运动来描述的。但在实际的金融市场中，往往会有突发状况出现，这会导致股票价格有一个跳。把跳加入到股票价格中的一个经典方法是用所谓的跳扩散模型来描述股票价格，最先提出跳扩散模型的是．Mertin（1973）[48]．在跳扩散模型中，股票价格可能跳到某一个新的水平，然后再服从几何布朗运动。其他的跳扩散模型参见参考文献Zhou(1997)[69]，以及Schmidt and Stute(2007)[56]等。在第2.4节中，我们考虑了跳扩散金融模型下，保险人的最优均值-方差投资问题。　　 不允许卖空股票和不允许破产对保险公司来说，是很符合实际操作的，在第2.2节和第2.5节中，我们分别考虑了卖空限制和破产限制下，保险人的均值-方差最优投资问题。　　 下面我们将简要介绍第2章各小节研究的内容，方法及主要结论．　　 2.1节考虑了多个资产模型中保险人的均值-方差最优投资问题，假设索赔过程是复合Poisson过程，保险人可以投资一个无风险资产和多个风险资产．利用随机线性二次型最优控制理论中的Hamilton-Jacobi-Belman(HJB)方程方法，我们得到了问题的有效前沿和有效策略（最优投资策略）。　　 2.2节考虑了卖空限制下保险人的均值．方差最优投资问题以及最优再保险问题．我们的风险模型是古典风险模型，即假设索赔过程是复合Poisson过程。利用随机线性二次型最优控制理论，我们得到了HJB方程的粘性解。由于我们得到的是HJB方程的粘性解而非经典解，Fleming and Soner(1993)[18]关于跳扩散模型的HJB方程古典解的验证定理不能使用．同时由于模型中有跳过程，Zhou，Yong and Li(1997)[72]关于扩散模型HJB方程粘性解的验证定理也不可以用，因此我们给出了一个适用于我们的带跳模型的HJB方程粘性解的验证定理．　　 在2.3节中，我们考虑了马氏调节的金融市场中，保险人的均值-方差最优投资问题．假设保险人可以投资到一个无风险资产和一个风险资产中，其中资产的价格是由马氏链驱动的模型，即模型中的参数可以在马氏链的几个状态之间进行转换．目标是在固定投资组合终端期望的条件下，最小化投资组合的方差。利用Lagrange乘子的方法，我们把有约束条件的最优问题转化为无约束的最优问题，然后通过求解三个常微分方程组，我们可以得到该问题的显式最优解。结论显示，在没有状态转换的情况下，我们的结果与Wang，Xia and Zhang(2007)[64]一文的结果相同。　　 在2.4节中，我们研究了跳扩散金融市场中，保险人的均值-方差最优投资以及再保险问题。我们假设保险人的索赔过程仍是复合Poisson过程，保险人可以投资到一个无风险资产和一个风险资产中，保险人可以进行再保险，股票价格过程是跳扩散模型。利用2.2节中我们给出的HJB方程粘性解的验证定理，可以得到原问题的最优投资和再保险策略。　　 在2.5节中，我们考虑了破产限制下保险人的最优投资以及最优再保险问题。假设保险公司的资产在考虑的时间段内的任何时刻均为非负，即不能破产。假设保险人的索赔过程是扩散过程，保险人可以投资到一个无风险资产和多个风险资产中。我们用Pliska(1982)[51]，Pliska(1986)[52]，Bielecki et al.(2005)[6]等文中的分解方法来解决这个问题．即把原问题分解成两个子问题，第一个子问题是找到一个非负的随机变量，使得在满足两个限制条件的情况下，这个随机变量的方差达到最小，第二个子问题是把第一个子问题中得到的随机变量作为终端财富，这个最优终端财富的对冲策略就是我们要找的最优策略。然后利用HJB方程古典解的验证定理，就可以得到原问题的有效前沿和有效策略。　　 在第3章中，我们建立了连续时间的行为均值-方差投资组合选择问题并利用分位数的方法对该问题进行了研究，包括资产非负约束条件（在保险上可以理解为不允许破产）下的连续时间行为均值-风险投资组合选择问题，扭曲的均值半方差投资组合选择问题，以及更一般的行为均值-方差投资组合选择问题等。　　 我们首先简单介绍第3章研究的背景以及我们要建立第3章的模型的原因，然后将介绍第3章各个小节研究的主要内容，方法和结论．　　 尽管投资组合选择理论在实际金融市场中被广泛应用，甚至Markowitz等人还因此获得诺贝尔奖，但最近一些年来，一些学者研究发现投资组合选择理论的一些基本假设是不符合实际的，因此有人开始研究行为金融学．　　 行为金融学将心理学尤其是行为科学的理论融入到金融学之中．这是最近才新兴起来的一门学科。它通过分析金融市场主体在市场中的行为来建立一种能正确反映市场主体实际决策行为和市场运行状况的模型．　　 我们知道现代金融学投资组合选择理论很多是在期望效用理论的框架下进行研究的，比如最大化期望效用，均值-方差最优问题等。然而，20世纪80年代对金融市场的大量实证研究发现，期望效用理论作为风险的一种度量，其一些基本假设是与实际相违背的，因此在此基础上，出现了一系列新的理论。于是就出现了行为金融学的萌芽，即Yarri的“对偶选择理论”(Yarri(1987)[67])，他试图解决与期望效用理论相关的一些悖论。该理论的核心是对概率分布函数做个扭曲，而效用函数理论则是用效用函数对投资者的资产做个扭曲。Yarri(1987)[67]指出概率扭曲函数用另一种不同的方式体现了风险的表现形式。　　 其他沿着行为金融学这个框架发展的有SP/A理论以及前景理论。SP/A理论由Lopes(1987)[39]提出，并由Lopes and Oden(1999)[40]进一步发展，其中S代表安全性(secuity)，P代表增值潜力(potential)，A代表财富渴求(aspiration)，该理论是研究行为决策者在不确定情况下进行选择的心理理论，概率扭曲函数在SP/A理论中被称为累积权重函数。前景理论由Kahneman and Tversky(1979)[31]以及Tversky andKahneman(1992)[61]提出，是描述性的一个行为决策模型．Kahneman因此获得2002年的诺贝尔经济学奖。最近几年，有些学者将行为金融学的上述理论应用到投资组合选择理论中来，比如Levy and Levy(2004)[34]，Gomes(2005)[22]，Jin and Zhou(2008)[30]，He and Zhou(2010)[25]等．　　 将行为金融学引入到投资组合选择问题中后，会出现很大的困难。从数学上来说，由于概率扭曲函数往往是非线性的，导致扭曲后的概率以及相应的量，比如数学期望，不再有线性性，这破坏了动态规划方法所必需的时间一致性以及凸对偶方法所必需的凸性，导致这些解决随机最优控制问题的方法不能使用．Jin and Zhou(2008)[30]，Heand Zhou(2010)[25]开创了分位数方法解决这个问题，即通过选择随机变量的概率分布函数的逆函数来代替选择随机变量本身。Jin and Zhou(2008)[30]在Kahneman andTverskys的前景理论的基础上，考虑了连续时间行为投资组合选择问题，其中效用函数是S型的，概率扭曲函数是一般的函数。他们引进了分位数的方法来解决由于概率扭曲产生的问题。He and Zhou(2010)[25]考虑了在完全市场以及不完全市场两类金融市场中，有概率扭曲的连续时间行为投资组合选择模型，他们采用的是分位数的方法，即通过一系列的转换，把终端财富的分位数函数作为要选择的对象，而不是终端财富本身。受以上工作的启发，我们将在第3章中利用分位数的方法考虑连续时间的行为均值，方差投资组合选择问题。　　 Markowitz(1952)[43]首先提出了单周期的均值-方差投资组合选择模型，用随机变量的数学期望来衡量收益，用其方差来衡量风险，从此之后，均值-方差准则成为金融理论中衡量风险的一个重要准则。然而也有一些学者认为把方差作为衡量风险的度量是不妥当的。对均值-方差准则一个很重要的批判是，方差中超过均值的部分不该作为风险。因为风险越小越好，而超过均值的部分则是越大越好，所以这一部分不该被作为风险来考虑，因此，一些学者提出了变形后的风险度量，比如下侧风险(downside risk)．即只把低于期望的那一部分作为风险度量考虑的对象。Markowitz(1959)[44]也承认作为风险的度量，半方差似乎比方差更加合理。　　 Jin,Yan and Zhou(2005)[29]考虑了连续时间均值-半方差问题，他们的主要结论是，连续时间的均值．半方差问题的最优解不存在，但是可以构造一系列策略，使得对应的终端财富的期望保持在一个给定的水平，同时其半方差可以无限接近某一个极限值。这种负面的结果启发了他们考虑均值-下侧风险投资组合选择问题，他们发现结果与均值-半方差问题类似，即不存在最优解。这种负面的结论表明均值-半方差问题不能很好的描述投资者的风险厌恶的情况。因此，在第3.2节中，我们把投资者的行为考虑进去，建立了更符合现实世界中投资者心理的模型，即行为均值-半方差模型，利用分位数的方法，可以得到问题的显式解，结论显示，对于某些概率扭曲函数，该问题的最优解是存在的。　　 下面我们简要介绍一下第3章各小节研究的内容，方法及主要结论。　　 在3.1节中，我们考虑了非负约束下的行为均值-风险投资组合选择问题，在原均值-方差问题的基础上，用概率扭曲函数对概率分布尾函数做一个扭曲．由于扭曲后的概率没有线性性，这个问题不再是一个凸最优问题，因此不能用传统的随机线性二次型控制的理论解决该问题。我们用分位数的方法来解决本节的问题，首先用与2.5节相同的方法，把原问题分解成两个子问题。然后用分位数的方法解决第一个子问题，即通过一系列变换，把寻找最优的随机变量（代表了终端财富）的问题转化为寻找这个随机变量的分位数函数的问题，然后该问题转化为传统的凸最优问题。利用凸最优理论可以得到最优的分位数函数，之后再通过反变换即可得到最优的终端财富。求解第二个子问题所得到的对应于这个最优终端财富的对冲策略即为原问题的最优策略。　　 3.2节研究了扭曲后的均值．半方差最优问题。收益定义为扭曲后的数学期望(Choquet数学期望)，风险则为扭曲后的下侧方差。我们的目标是寻找收益最高，同时风险最小的投资组合。利用分位数的方法可以得到这个问题的显式解。如前所述，在没有扭曲的情况下，传统的均值-半方差问题的最优解是不存在的．然而，我们的结论显示，对于某些扭曲函数，扭曲后的均值-半方差问题的最优解是存在的，同时，我们还给出了最优解的显式表达式．这也从侧面说明了扭曲后的模型能更好地描述投资者的风险厌恶情况，证明了研究行为金融学是有很重要的现实意义的。我们把概率扭曲函数分为三大类：使得原问题无可行解的概率扭曲，使得原问题有可行解但没有最优解的概率扭曲，使得原问题有可行解也有最优解的概率扭曲。没有扭曲的情况，即传统的均值-半方差问题即属于第二类。对于第三类，我们给出了最优解的清晰表达式。本节的主要贡献在于：一，由于概率扭曲的加入，模型的可行性不再是必然的，我们给出了可行解存在的充分必要条件；二，我们给出了在可行解存在的情况下，最优解存在的充分必要条件，这个条件是概率扭曲函数和金融市场所要满足的条件；三，在最优解存在的情况下，我们给出了其清晰表达式，并给出了有效前沿及有效策略。　　 在3.3节中，我们考虑了更一般的连续时间行为均值-方差问题。与前面两节类似，用分位数的方法，可以得到该问题的解。　　 在第4章中，我们研究了投资连结寿险合同的风险对冲问题，包括由shot-noise过程驱动的金融市场中投资连结寿险的风险最小对冲问题，均值-方差准则下投资连结寿险的对冲问题。　　 在完全金融市场中，有唯一的一个对应于规范概率测度的等价鞅测度，使得折现价格过程是一个鞅，因此任何一个未定权益都可以完全对冲。在不完全的金融市场中，由于不存在唯一的一个等价鞅测度，因此不能用等价鞅测度的方法完全对冲未定权益。所以，要有一个附加的最优准则，在此最优准则下，从众多的测度中选择一个合适的鞅测度来对冲未定权益。最近几年，有很多的方法和准则被用来研究此类问题。　　 在4.1节中，我们用Folllmer-Schweizer最小鞅测度的理论来解决投资连结寿险合同的对冲问题。最小鞅测度是使得原模型的结构改变最小的鞅测度．相对应的对冲策略被称为局部风险最小对冲策略。不完全市场中的风险最小对冲问题最早由Follmerand Sondermann(1986)[20]提出，他们利用Galt choulc-Kunita-Watanabe(G-K-W)分解构造出了风险最小对冲策略。随后该理论由Schweizer(1991)[57]，Schweizer(1994)[58]，Schweizer(2001)[59]以及MoIler(1998)[49]进一步发展。在Riesner(2006)[53]和vandaeleand Vanmaele(2008)[62]中，金融市场是由Chan(1999)[9]提出的由L6vy过程驱动的不完全金融市场．　　 在许多金融学的参考文献中，股票价格过程是由几何布朗运动来描述的，但在实际的金融市场中，由于受外部突发因素的影响，股票价格会有一个跳，之后这种影响可能会随着时间的过去而全部消失或者部分消失。Merton(1973)[48]所描述的跳-扩散模型可以描述股票价格出现的跳，在跳出现之后，股票过程将在此基础上，服从一个新的几何布朗运动，就是说跳将始终影响股票价格．这种跳扩散过程不能很好的描述随着时间的流逝，外部因素对股票价格出现的影响可能会全部或者部分消失的情形，因此在4.1节中，我们用shot-noise过程来描述股票价格中出现的跳。我们研究了在由shot-noise驱动的金融市场中，投资连结寿险合同的风险最小对冲问题。由于这样的金融市场是不完全市场，保险合同作为一个不定权益，其风险不能完全对冲，剩余的风险由保险人来承担。4.1节研究选择什么样的对冲策略可以使保险人的剩余风险达到最小。利用如前所述的G-K-W分解，我们构造出了该问题的局部风险最小对冲策略。在这一节中，我们考虑了两类基本的投资连结寿险合同：纯生存保险(pureendowment unit-linked contracts)和定期人寿保险(the term insurance unit-linked contracts)．并假设保费在期初一次性收取。　　 在4.2节中，我们引进了均值-方差准则作为投资连结寿险合同的风险对冲问题的最优准则。　　 在第5章中，我们研究了带交易费用和分红的保险人的最优投资以及最优分红问题。分红是指公司将部分盈余分给股东或初始准备金的提供者。所以总的分红量从某种意义上反应了一个公司的效益和实力。因此如何选择一个分红策略或采取某种措施（例如再保险和投资）使得破产之前的分红量达到最大一直以来都是金融和保险领域中最热门的研究话题之一，在第5.1节中，我们考虑了在带交易费用的情形下，保险人的最优分红问题．　　 第G章对博士论文进行了小结，并给出了将来可能的研究方向。我的博士毕业论文主要是通过Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程．Pareto最优，分位数等理论解决了保险风险理论中的均值-方差最优投资，最优再保险，最优分红等问题；行为金融学中的均值．方差最优投资组合选择问题；以及投资连结寿险合同的风险对冲问题．上面对所研究的问题以章节为单位进行了分类介绍。下面将从各个章节的创新点对他们的内容进行概括性的总结。　　 (1)2.2节给出了一类新的HJB方程粘性解的验证定理。　　 (2)对文章中出现的随机最优控制问题，我们不再局限于用HJB方程的方法来解决，在第3章中，我们用分位数的方法来解决动态规划以及凸最优理论所不能解决的问题。　　 (3)在许多金融学参考文献中都假设股票的价格过程服从扩散型的随机过程，但在实际的金融市场中，往往会有突发状况出现，这会导致股票价格有一个跳。因此我们考虑了一系列带跳的股票价格模型。例如第2.4节中由复合Poisson过程驱动的跳，以及第4.1节中由shot-noise驱动的跳。　　 (4)为了使模型更接近真实的金融市场，在第2.3节，我们用马氏调节模型来描述金融市场。　　 (5)保险公司作为一个特殊的金融机构，其投资行为是要受到一定约束的。在第2.2节，我们考虑了在卖空限制下，保险人的最优投资问题．在第2.5节中，我们考虑了在破产限制下，保险人的最优投资问题。这两种限制对保险人而言，都是符合实际而且合理的限制。　　 (6)为了把决策者的心理行为考虑进来，我们在第3章考虑了行为金融学．第3.2节的结论表明，把行为金融学应用到投资组合选择问题之后的模型能更好地描述投资者的风险厌恶情况。