【摘 要】
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有限元方法是现代工程设计和分析中的求解偏微分方程的重要数值方法之一,是当今研究结构分析问题的有效方法.目前在科学与工程的广泛领域内提出了越来越多的大型和超大型的科学计算问题,而传统的以串行计算机为物质基础的有限元算法分析已不能满足科学研究和工程技术发展的需要,高性能并行计算系统的出现无疑给大规模科学与工程计算带来了机遇,如何充分发挥它们的能力,却又给大规模科学与工程计算,特别是数值并行计算方法,提
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有限元方法是现代工程设计和分析中的求解偏微分方程的重要数值方法之一,是当今研究结构分析问题的有效方法.目前在科学与工程的广泛领域内提出了越来越多的大型和超大型的科学计算问题,而传统的以串行计算机为物质基础的有限元算法分析已不能满足科学研究和工程技术发展的需要,高性能并行计算系统的出现无疑给大规模科学与工程计算带来了机遇,如何充分发挥它们的能力,却又给大规模科学与工程计算,特别是数值并行计算方法,提出了严重的挑战.机群式网络并行机是目前较为流行的并行处理方式.有限元并行的研究始于20世纪70年代末,以前的研究主要基于并行机和向量机上,除了传统有限元寻求向量化与并行化,还在有限元分析和设计过程中的各个层次探索提高并行度的各种策略和技术.然而,在消息传递分布式环境下实现有限元并行计算最近几年才开始研究[1? 6],大部分文献都采用区域划分法或EBE法的并行策略.本文在PVM并行计算平台上对泊松方程JOR迭代法并行求解问题进行了讨论. 1987年宋永忠教授对严格对角占优矩阵讨论了JOR方法的收敛性, Andreas Frommer、Gunter Mayer和Wangderen在文[7][8]中研究了系数矩阵A为H阵时的收敛性,并给出了JOR方法的收敛区域为（0,2/（1 +ρ））(这里的ρ为矩阵|D| -1|B|的谱半径且ρ＜1).1990年宋永忠教授对分块矩阵讨论了块JOR方法的收敛性.2003年袁玉波教授等研究了双严格对角占优矩阵下JOR方法的收敛性,扩大了JOR方法松弛因子的选取范围.本文结合泊松方程离散得到的有限元方程组的系数矩阵是对称正定矩阵的特征,讨论了对称正定方程组下JOR迭代法松弛因子的选取,给出了适合对称正定方程组松弛因子的选取定理和最佳松弛因子的选取定理,并且给出了相应证明.文给出了在λmax,λmin分别为对称正定系数矩阵A的最大、最小特征值时,JOR方法的收敛区域为(0,2/λmax),最佳松弛因子ω= 2/(λmax +λmin),此时的JOR迭代格式为xk +1 = xk +ω(b - Axk).本文采用的JOR迭代格式为xk +1 = xk +ω( D-1b - D-1Axk),并在这种格式下讨论了松弛因子的选取:设λn和λ1分别为雅可比迭代阵D-1（D-A）的最大、最小特征值,则JOR方法的收敛区域为（0,2/ 1-λ1）,最佳松弛因子ω= 2/（2 -λ1 -λn）;另外,若λn和λ1分别为D-1A的最大、最小特征值, JOR法的收敛区域为（ 0,2/λn ）,最佳收敛因子ω= 2/（λ1 +λn）.与文给出的结果相比,2/(1 -λ1≥2/（1 +ρ）,所以给出的收敛范围要大一些.与文的结果相比,本文给出了有限元方程组系数矩阵为对称正定对角占优阵时的最佳松弛因子的具体范围（0,2）,且在（0,1）内JOR法均收敛.本文把算法的收敛性与雅可比阵的特征值结合起来讨论而文
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