【摘 要】
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本论文的研究内容属于凸几何分析,内容涉及仿射等周不等式与OrliczBrunn-Minkowski理论Brunn-Minkowski理论是凸几何分析的核心内容,它的发展起源于对两个凸体与它们的Minkowski和之间的体积关系的研究,由此产生了著名的Brunn-Minkowski不等式,整个Brunn-Minkowski理论的奠基石.仿射等周不等式主要研究凸体的一些仿射量的极值问题,是凸几何分析理
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本论文的研究内容属于凸几何分析,内容涉及仿射等周不等式与OrliczBrunn-Minkowski理论Brunn-Minkowski理论是凸几何分析的核心内容,它的发展起源于对两个凸体与它们的Minkowski和之间的体积关系的研究,由此产生了著名的Brunn-Minkowski不等式,整个Brunn-Minkowski理论的奠基石.仿射等周不等式主要研究凸体的一些仿射量的极值问题,是凸几何分析理论中的一个重要组成部分.经典的仿射量包括仿射表面积,投影体的体积,质心体的体积等,它们在信息论,分析学等领域有广泛的应用.仿射等周不等式的另一个意义是：经典等周不等式特征了单位球,而一般的仿射等周不等式能够特征更多重要的几何体,如椭球,单形,立方体,平行多面体等等.在本文第二章,我们将对Orlicz Brunn-Minkowski理论的理论框架展开研究.这个理论起源于Lutwak, Yang和Zhang [89,90]在2010年的工作.在本章,我们定义了凸体的Orlicz加法,建立了相应的Orlicz Brunn-Minkowski不等式.更多地,我们也将Lp混合体积推广到了Orlicz情形,并使用我们的Orlicz Brunn-Minkowski不等式证明了关于Orlicz混合体积的Minkowski型不等式.这些结果是Lp Brunn-Minkowski理论中的基本量和基本不等式的推广本论文第三章的主要研究内容是Lp平均带形的仿射等周不等式.平均带形的定义是由Zhang（华人数学家张高勇教授）[116]在首次证明著名的逆Petty投影不等式一文中提出的,并且他在该文中使用积分几何的方法得到了关于这种几何体的仿射等周不等式.关于Lp平均带形的体积不等式,延续该方法似乎并不适用,我们在本文中使用Steiner对称的技术证明了关于它的仿射等周不等式.在最后一章,我们首先对Dar猜想展开研究.这个猜想是以色列数学家Dar在1999年提出的,是Brunn-Minkowski不等式的一个强化版.2011年,Campi, Gardner和Gronchi [14, Page 1208]指出：即使对于2维的中心对称凸体,这仍是一个公开问题.我们在本文中证明了这个猜想对2维的所有凸体都是正确的,并且给出了等号成立的充要条件.关于平面原点中心对称凸体的log-Brunn-M inkowski不等式是由Boroszky, Lutwak, Yang,和Zhang [9]于2012年建立的.对于平面上的原点中心对称凸体,它强于经典的Brunn-Minkowski不等式.随后,他们提出一个公开问题：是否存在一个一般版本的log-Brunn-Minkowski不等式,使得对任意的平面凸体K,L都成立.在我们对Dar猜想的证明中,我们提出了“膨胀位置”的概念,这启发我们得到了一个一般版本的log-Brunn-Minkowski不等式.和预期的一样,对于所有平面凸体,这个新的不等式都强于经典的Brunn-Minkowski不等式.
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