矩阵理论是一个非常活跃而又重要的研究领域,是各数学学科的基本工具,在微分方程、概率统计、最优化、理论经济学以及应用经济学、工程学、运筹学等领域均有广泛的应用,矩阵理论很多重要结论是以矩阵不等式的形式出现,因此矩阵不等式的研究对矩阵理论的研究与发展意义重大。矩阵不等式涉及矩阵范数、奇异值、特征值、偏序关系、数值范围,谱半径,非负矩阵以及符号模式等领域。本文的主要内容如下:　　 (一)在第一章中,我们首先回顾矩阵几何平均概念的演变,接着介绍本文研究的正定矩阵的广义几何平均不等式,广义调和平均不等式以及二项式平均不等式.　　 (二)在第二章中,我们讨论了矩阵特征值与奇异值的包含域.在文献[8]中,R.A.Hom教授和C.R.Johnson教授介绍了矩阵特征值和奇异值包含域的重要结论,我们利用部分绝对值行和与部分绝对值列和,给出了Brauer型特征值和奇异值包含域的修正形式.　　 (三)在第三章,我们讨论了酉不变范数的一系列性质,给出了一个关于正定矩阵和差的酉不变范数不等式.