为了深入研究信号分析中有效的数学工具——正交函数和正交变换,本文从Legendre正交多项式出发,构造了一类由分段多项式组成的正交函数系,称之为广义k次V-系统。相较于V-系统来说,广义k次V-系统表达式的构造更加简洁,无需求解任何方程,也无需正交化。接着指出广义k次V-系统与k次V-系统的等价关系,并给出广义k次V-系统对应的离散矩阵,构造广义k次V-变换。广义k次V-变换保持了V-变换的几乎全部特点,可以对含间断的信息做精确重构,1次广义V-变换还具有快速算法,弥补了 V-系统不容易设计快速算法的缺憾。实验结果表明,V-变换、广义V-变换可以精确重构原图像,但是由于Fourier变换的基函数是连续的,因此Fourier变换不能用有限项精确重构这种有分离(间断)的对象;快速广义V-变换的速度比V-变换提高了很多,比Fourier变换也快,并且插值点数越大,时间效率优势越明显。在快速广义V-变换的基础上构造了另外两种正交的快速变换:一种是改进的快速广义V-变换;另一种是广义V-变换与斜变换的结合——快速广义V-斜变换,体现了广义V-系统快速算法的多样性。并给出了V-变换、快速广义V-变换、改进的快速广义V-变换、斜变换、快速广义V-斜变换和DCT变换这6种正交变换的时间复杂度的对比。对N点的一维向量做正交变换时,快速广义V-变换和改进的快速广义V-变换运算量最少,大大地降低了时间复杂度。实验还比较了这6种正交变换压缩图像的均方误差,得出了快速广义V-变换在运算量大大降低的同时,在图像压缩方面也能保持良好的性质。