生物数学是一门交叉学科,它使用数学学科上的一些方法和理论来处理生物学方面的许多问题,而且还研究和生物学相关的许多数学上的方法。许多的生态现象都可以通过数学模型去描述,通过研究数学模型可以对其做出科学的解释。传染病它是一类由病原体所引起的疾病,因为传染病它的传播速度快速,而且还能导致感染者死亡,所以对传染病的研究受到了各个领域专家学者的广泛关注。传染病是人类最大的杀手是毫无疑问的,对于人类来说怎么样去有效的预测、防止、隔离受感染的人群以此来实现对传染病的治疗,是多年来人们一直关注的问题。研究传染病模型是为了更好地揭示疾病发展的过程和传播的规律,以便人们能够找到其预防的措施和控制的策略。本文主要针对几类生物模型,根据非线性动力学理论从理论和数值两方面详细分析了该类模型的动力学特性。对这几类传染病模型平衡点的存在性、稳定性以及唯一性及其多种分岔行为进行了研究,对一些旧的理论和方法做了适当的改进,并且发现了一些新的规律。本论文的主要内容为:1.对生物模型的研究现状和研究目的意义进行了简单的综述,另外阐述了动力系统、结构稳定性、分岔、离散系统的Flip分岔和Neimark-Sacker分岔、连续系统的Hopf分岔以及第一Lyapunov系数的计算方法,针对离散系统和连续系统发生各种分岔的条件做了简要的归纳和说明。2.通过使用向前的欧拉差分方法,将一类具有饱和接触率和垂直感染的SIR模型变成离散的SIR模型。首先,分析了该离散模型的平衡点的存在性与局部稳定性,并得到了平衡点稳定性的条件。其次,运用中心流形定理与范式理论,讨论了地方病平衡点2E的Flip分岔与Neimark-Sacker分岔的存在性、稳定性和方向。研究发现,当模型中选定的分岔参数穿过其临界值时,离散的SIR模型会发生Flip分岔和Neimark-Sacker分岔。最后,分别给出了Flip分岔与Neimark-Sacker分岔的数值仿真图,由图形可以验证了前面得到的理论的正确性。3.首先,对一类潜伏期和染病期都具有传染力的连续的SEIR传染病模型的平衡点的存在性与稳定性进行了分析,并基于Hopf分岔准则、范式理论和中心流形定理对该模型Hopf分岔的存在性、稳定性与方向做了详细地讨论。此外,通过使用向前的欧拉差分方法,构造出了一个新的离散的潜伏期和染病期都具有传染力的SEIR传染病模型。研究了该离散模型的无病平衡点的存在性、稳定性以及Neimark-Sacker分岔的存在性、稳定性与方向。最后,将连续SEIR传染病模型与其离散SEIR传染病模型的Hopf分岔的临界值进行了比较,得到了它们发生Hopf(Neimark-Sacker)分岔的时间顺序的参数条件。经过详细地理论分析与数值仿真可以得到,离散的SEIR流行病模型具有更加丰富的动态特性。4.首先,通过理论分析得到了一类连续的分数阶SIRS传染病模型的解的存在性和唯一性的充分条件,而且还对该模型平衡点的Hopf分岔的存在性进行了讨论。此外,本节还提出了一类新的离散的分数阶SIRS传染病模型,针对该模型详细分析了其稳定性的充要条件,还得到了Neimark-Sacker分岔发生的参数条件。最后,针对连续的和离散的分数阶SIRS传染病模型,分别对它们做了数值仿真。结果显示:分阶数θ的取值对离散的分数阶SIRS传染病模型的稳定性有着一定的影响;随着s的减小,离散的分数阶SIRS传染病模型越容易趋于稳定状态;另外当分阶数θ的值增大时,离散的分数阶SIRS传染病模型越容易出现混沌吸引子。数值结果表明,离散的分数阶SIRS传染病模型有着Neimark-Sacker分岔、吸引子危机以及混沌吸引子等丰富的动力学特性。