该论文研究第二类弱奇性积分方程的多尺度方法的若干理论和应用问题.全文共分为九章.第一章扼要地介绍第二类积分方程以及求解方程的投影法格式,然后简单回顾了随小波方法而兴起的多尺度方法以及快速配置法建立的历史.最后总结该论文的主要工作和给出全文的通用记号.第二章简要叙述快速配置法的理论框架及主要理论结果,并给出了多尺度基和配置泛函的一般构造方法.该章内容取自快速配置法的经典文献[29],作为全文的基础和出发点.第三章研究一般欧氏空间Rd中的单纯形的等度剖分方法,其中d可取任意正整数.通过将各子区域与Zdu中的向量建立一一对应关系,我们构造性地给出了单纯形的剖分方法以及将单纯形映到剖分后各子区域的压缩仿射映射的表达式,并证明了剖分的等度性质.这一工作是构造高维多尺度基的基础.第四章研究加细集,配置泛函和多尺度基.该章可分为两大部分.第一部分研究加细集的代数性质及构造方法,比较系统地分析了加细集的相互关系,进而对加细集进行分类,最后给出加细集的一些重要例子.第二部分叙述配置泛函和多尺度基的具体构造过程,并依照这些步骤构造了一,二,三维情形下的一些重要基底.第五章叙述多层扩充法的理论框架及其在第二类算子方程上的应用.该章首先建立了多层扩充法的一般格式,然后导出其在第二类方程上的特殊格式,证明了算法可以达到原问题的最佳收敛阶.我们还叙述了多层扩充法关于第二类方程的离散格式,并证明了连续和离散格式的等价性.当系数矩阵进行了截断时,多层扩充法仍然有效.第六章分析快速配置法的截断策略,并简单讨论了截断后得到的稀疏矩阵适用的数据存储结构.该章对文献[29]建立的理论截断策略中的参数取值进行了分析,更明确地揭示了收敛阶和计算复杂度之间的矛盾关系,并得到了三组导致不同收敛阶和复杂度的参数取值方案.在这些讨论的基础上,我们对一维问题的快速配置法建立了块截断策略,这种截断格式更便于实现算法和存储数据.对于数据存储结构,我们分析了存储格式与稀疏矩阵元素分布特点以及线性方程组求解格式之间的关系,并给出了一套适用于多尺度基离散化及多层扩充法的存储方法.第七章研究数值积分的误差控制.我们对一维问题选取了两种典型的奇异积分数值算法,研究用这些方法来近似计算系数矩阵元素时,应如何控制积分精度才不会损失数值解的收敛阶,并估计了相应的计算复杂度.第八章给出几个数值实验,包括实验方案和数值计算结果,用于验证该论文前面章节中的理论结果.第九章建立微分方程的多层扩充法.我们首先证明了微分方程的变分形式可等价于一个第二类算子方程,从而可用多层扩充法来求解离散化后的线性方程组;然后叙述了适用于多层扩充法的一维基底的一般构造方法,并使用这套方法构造了一系列基底;最后对二阶和四阶常微分方程的边值问题给出了数值算例,实验数据显示了多层扩充法惊人的计算效率.