量子群自上世纪90年代以来一直是基础数学研究的重要方向，它与低维拓扑以及量子力学有着非常密切的关系。仿射量子群或者说Kac-Moody代数泛包络代数的量子化代数是当前量子群研究的热点。其中尤为重要的工作是关于量子群的Canonical基的研究。这种基既能很好地揭示量子群的内在结构，又能自然的反映量子代数的范畴()中不可约可积高权模的结构。 首先从事Canonical基研究的是Lusztig与Kashiwara，两者从不同的视角，殊途同归。如果仅从两者在有限型中的构造看，前者从构造PBW基，或者构造根向量出发进行研究与李代数的结构更自然一些。后者的工作则更为组合化一点。 综观Lusztig关于有限型Canonical基的构造，有两个特点：第一，利用辫子群构造根向量；第二，利用箭图表示理论实现Monomial基与整的PBW基的上三角关系。由于在仿射型时辫子群是不能将所有根向量都构造出来的，所以Lusztig在研究仿射型时，采用的是非代数的几何方法。因此如何利用代数方法建立Canonical基成为一项非常重要的研究工。 众所周知，自从C.M.Ringel建立Ringel-Hall代数以来，由于Green的重大发现-Green公式，使得Ringel-Hall代数成为Hopf代数。结合Ringel和Green的工作可以证明Ringel-Hall代数的合成子代数的Drinfelddouble给出了对应量子群的整体实现。更为一般地，Sevenhant-VanDenBergh以及邓邦明-肖杰等证明了一般型的Ringel-Hall代数的DrinfeldDouble实现了可对称化的广义李代数(由Borcherds定义)的量子包络代数的整体构造。 该论文讨论的主题是仿射量子群的Canonical基与Green公式的逆定理。方法是利用Tame型遗传代数的表示理论与代数几何的的基本理论，在RingelHall代数的框架下进行研究。另外，根据Tame箭图在代数闭域上的表示理论，论文给出了有限域上Tame箭图表示的更加精细的刻划. 论文的主要结果： 1.Green证明了在有限域上遗传代数的模范畴中Green公式成立。从而保证了Ringel-Hall数有余乘结构，使得Ringel-Hall代数成为研究量子群的重要工具。 证明了在有限域上代数∧的模范畴中，Green公式成立的充要条件是∧为遗传代数。这项工作的意义是指出了只有由有限域上的遗传代数的模范畴构建的Ringel-Hall代数才能成为量子群。 2.利用Kronecker箭图的AR-箭图所给出的不可分解模的分布与构造，以及轨道代数族的几何偏序关系，根据Lusztig构造有限型的思想和章璞等人的PBW-基构造，首先用代数方法实现了Uq+(sl2)的Canonical基。证明了对于秩为n的粗管子或者说An型量子群，Ringel的组合构造与Lusztig的Canonical基的一致性，并且由此推得邓邦明和杜杰近期所得的单项式基是整基。 该论文的主要结果是利用Tame箭图的AR-箭图所给出的不可分解模的分布与构造，Kronecker代数的模范畴在一般型仿射tamequiver的模范畴中的嵌入以及轨道代数族的几何偏序关系完整实现了(对称)仿射型量子群的Canonical基. 3.给出了有限域上Tame箭图表示的更加精细的刻划.