1982年，波兰数学家Z.Pawlak教授提出粗糙集理论(rough sets theory)，粗糙集就是用上，下近似两个集合来定义一个不可定义的集合X.X是一个静态的集合.2002年史开泉教授将Z.Pawlak粗糙集进行推广，提出奇异粗集(Singular roughsets)，简称S-粗集，它包括两种形式：单向S-粗集，双向S-粗集.S-粗集将Z.Pawlak粗糙集的固定边界线变为浮动边界线，因此在S-粗集中，对象集合X是动态的.Z.Pawlak粗糙集是S-粗集的特例，S-粗集是Z.Pawlak粗糙集的一般形式.在S-粗集的基础上，史开泉教授将元素等价类[x]推广为函数等价类[u]，提出了具有属性集α的函数等价类[u]定义的函数S-粗集.一个函数就是一个规律，函数S-粗集具有动态特性、规律特性.如果在[u]的属性集α中增加属性，则[u]生成的规律曲线随着α的属性增加而下移；反之，如果在[u]的属性集α中减少属性，则[u]生成的规律曲线随着α的属性减少而上移。函数S-粗集的粗规律曲线是动态变化的，对于研究系统中的规律，提供了理论支持，这为二重粗积分的出现奠定了理论基础，二重粗积分的出现又为研究能量变化提供了一个有效的工具。二重粗积分是粗集理论和应用研究中的又一个新的研究方向。　　 本文具体的成果如下：　　 第一章主要介绍粗糙集、S-粗集、函数S-粗集的发展概况，然后介绍本文的内容和结构，让读者了解本文的写作背景及框架。　　 第二章进入本文的主体部分，主要介绍单向S-粗集、双向S-粗集、单向S-粗集对偶、函数单向S-粗集、函数双向S-粗集以及函数单向S-粗集对偶的概念和其定理关系，这些内容是第三章和第四章的理论基础。　　 第三章在函数单向S-粗集的基础上，提出其生成的函数，一个函数就是一个规律，因生成的规律曲线随着属性的迁入而向下移动，所以具有动态特性和规律特性，从而提出在指定区间的粗区域的概念，进而提出以函数单向S-粗集为基础的二重粗积分的概念，由于粗区域具有动态特性，所以F-二重粗积分也具有动态特性，通过这种动态特性给出了F-二重粗积分的萎缩度与萎缩率的概念.目前对于函数S-粗集的研究均是落在研究双向动态特征和规律形成的既成事实上，而没有深究它在能量变化过程中引起的量化变化，通过萎缩度和萎缩率的概念我们就可以达到将能量变化量化的目的，并将其应用到系统识别中，这样我们就可以度量系统因属性增加而受到的干扰的程度和效果，结果更直观。　　 第四章在函数单向S-粗集对偶的基础上，提出其生成的函数，一个函数就是一个规律，因生成的规律曲线随着属性的迁出而向上移动，所以具有动态特性和规律特性，从而提出在指定区间的粗区域的概念，进而提出以函数单向S-粗集对偶为基础的二重粗积分的概念，由于粗区域具有动态特性，所以(F)-二重粗积分也具有动态特性，通过这种动态特性给出了(F)-二重粗积分的扩张度与扩张率的概念，通过扩张度和扩张率的概念我们就可以达到将能量变化量化的目的，并将其应用到系统识别中，这样我们就可以度量系统因属性丢失而受到的干扰的程度和效果，同样结果比较直观。　　 第五章是对论文的总结和展望，让读者了解二重粗积分这样一个新的研究方向具有非常广阔的前景。