【摘 要】
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组合序列的相关恒等式一直是组合数学研究的重要内容.Rota最先提出了证明恒等式的系统化方法—哑演算理论.近几十年,在以Gosper、Wilf、Zeilberger、Paule等人为代表的大量学者的研究下,组合恒等式的证明发生了革命性的变化,几乎所有的超几何恒等式都可由已知算法直接证明.目前,相关研究主要集中在算法分析及应用方面.例如,陈绍示等人深入研究了可求和问题及邻差算子的存在性问题,孙智伟等人
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组合序列的相关恒等式一直是组合数学研究的重要内容.Rota最先提出了证明恒等式的系统化方法—哑演算理论.近几十年,在以Gosper、Wilf、Zeilberger、Paule等人为代表的大量学者的研究下,组合恒等式的证明发生了革命性的变化,几乎所有的超几何恒等式都可由已知算法直接证明.目前,相关研究主要集中在算法分析及应用方面.例如,陈绍示等人深入研究了可求和问题及邻差算子的存在性问题,孙智伟等人提出了很多涉及和式的同余猜想.为便于学习查阅,Riordan、Gould编写了相关书籍,系统总结了数百个经典的组合恒等式.本论文探讨经典求和算法Gosper算法和Zeilberger算法在组合恒等式中的应用,具体内容包括如下几部分:在第一章,我们介绍了研究背景,包括研究历史及现状.在第二章,我们介绍了证明组合恒等式的常用五种方法并分别举例进行说明.在第三章,我们给出了含有广义调和数的组合恒等式的计算机辅助证明方法.在已有工作的基础上,得到了广义调和数的形式留数表示.对给定的含有调和数的和式,首先利用该超几何表示将其转化为一个超几何和式,利用Gosper或Zeilberger算法求得其满足的递推关系,再通过取留数得到原和式的递推关系.我们研究了含有调和数的几类和式,给出了大量已知等式的新证明并得到了几个新的恒等式.在第四章,我们将Abel引理与q-Gosper算法和q-Zeilberger算法相结合研究含有q-调和数的相关和式,给出了几个调和数相关恒等式的q模拟.在第五章,我们总结整理了本文的结论并对进一步研究提出了一定方向.
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