【摘 要】
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本文主要考虑三个方面的问题:一是无限循环群被有限生成Abel群的中心扩张的构造问题;二是换位子群是无限循环群的有限生成幂零群的构造问题;三是超特殊Z-群的自同构群的结构.实际上,我们得到的核心结果可以看作是有限生成Abel群的结构定理的推广.本文分四章.在第一章里,我们介绍了群的分类以及自同构研究的发展过程和主要结果,并简要介绍了本文的研究内容.在第二章里,我们研究了无限循环群被有限生成Abel群
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本文主要考虑三个方面的问题:一是无限循环群被有限生成Abel群的中心扩张的构造问题;二是换位子群是无限循环群的有限生成幂零群的构造问题;三是超特殊Z-群的自同构群的结构.实际上,我们得到的核心结果可以看作是有限生成Abel群的结构定理的推广.本文分四章.在第一章里,我们介绍了群的分类以及自同构研究的发展过程和主要结果,并简要介绍了本文的研究内容.在第二章里,我们研究了无限循环群被有限生成Abel群的中心扩张的构造问题,并给出这类群的同构不变量.证明了设G是无限循环群被有限生成Abel群的中心扩张,T是G的中心ξG的挠子群.如果T的阶与ξG/（G’+T）的挠子群的阶互素,那么群G可分解为G = S ×F × T,其中这里di都是正整数,满足d1|d2|…|dr,F是秩为s的自由Abel群,T是有限Abel群,T = Ze1 ⊕Ze2 ⊕ …（?）Zet,e1>1,满足e1 | e2 | …|et,并且（d1,et）= 1.进一步地,（d1,d2,…,dr;s;e1,e2,…,et）是群G的同构不变量,即若群H也是无限循环群被有限生成Abel群的中心扩张,TH是ζH的挠子群.如果TH的阶与ζH/（H’+TH）的挠子群的阶互素,那么G同构于HH的充要条件是它们有相同的不变量.在第三章里,我们研究了换位子群是无限循环群的有限生成幂零群的构造问题.证明了设G是换位子群是无限循环群的有限生成幂零群,则G可以唯一地分解为SG·ζG 其中ζG是G的中心,它是有限生成Abel群,这里d1,d2,…,dr都是正整数,满足d1 ｜d2|…|dr,SG的中心ζSG=SG的换位子群S’G =SG的Frattini子群FratSG = G的换位子群G =＜t1 r+3（1）>是无限循环群,它是ζG的子群.若H也是换位子群是无限循环群的有限生成幂零群,设H也按上述分解为H =SH·ζH,则G同构于H的充要条件是存在两个群同构α:SG→SH和β:ζG → ζH,并且α |G’=β｜G’.接着我们研究了Frattini子群是无限循环群的有限生成幂零群的结构.证明了设G是有限生成幂零群,则G的Frattini子群是无限循环群当且仅当G可以分解为G = S× F × T,其中F是秩为s的自由Abel群,T=Zm1⊕Zm2⊕…⊕Zm11,m1,m2,…,mu都是大于1的没有平方因子的自然数,m1| m2 |…|mu/,式中d1,d2,…,dr都是正整数,d1 | d2|…|dr.进一步地,（d1,d2,…,dr;s;m1,m2,…,mu）是群G的同构不变量,即若群H也是Frattini子群是无限循环群的有限生成幂零群,那么G同构于H的充要条件是它们有相同的不变量.在第四章里,我们确定了超特殊Z-群的自同构群.证明了设G是超特殊Z-群,即AutcG是AutG中平凡作用在ζG上的自同构形成的正规子群,则AutG = AutcG ×Z2,且是正合列.
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