【摘 要】
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非对称代数Riccati方程的数值求解是数值代数中的一个重要课题,而人们普遍关心的是求解非对称代数Riccati方程的最小非负解.对于这一课题,已有大量论文讨论了该方程的性质,并
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非对称代数Riccati方程的数值求解是数值代数中的一个重要课题,而人们普遍关心的是求解非对称代数Riccati方程的最小非负解.对于这一课题,已有大量论文讨论了该方程的性质,并结合数值代数中常用的数值方法给出了相应的迭代算法,形成了一定的理论体系.对于这些算法,仍然可以通过某些思想和技巧,使其改进和完善,或者结合其他数值方法构造创新算法,因此有丰富的内容可以研究,这便是本文研究的初衷.
本文主要内容如下:
第一部分提出了非对称代数Riccati方程的数值求解问题,并简要概述了该问题的研究进展.
第二部分给出了基本概念和引理,对影响ALI算法收敛速率的参数进行讨论,并找到使收敛达到最快的参数值.
第三部分结合矩阵分裂和两步迭代法的思想,ALI算法将原方程拆分所得两个线性方程,构成两个交错的迭代方程,以此作为外迭代,然后对每个方程的系数矩阵进行分裂,分别得到新的迭代序列,此为内迭代,将两个分离的迭代过程结合起来,构造出完整统一的两步迭代算法,并讨论其单调收敛性.
第四部分验证了在方程的四个系数矩阵组成的矩阵K为不可约奇异M-矩阵时,引入位移变换得到的新方程应用ALI算法仍可得到最小非负解,并结合数值实验说明了算法的有效性.
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