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在学习二次根式时,经常会遇到二次根式的化简,因此弄清a2=|a|=这一性质,就有利于正确无误地化简二次根式。对于a2化简的教学,关键在于弄清a的条件,然而条件的给出却是多种多样的。
笔者认为主要有以下几种情况:
一、具有明显的条件
在二次根式的化简中,有的二次根式的被开方数中含有明显的条件,可根据指明的条件运用a2的性质化简二次根式。
明显的条件主要有下列几点:
1、带有范围的条件
例1、化简:x2+2x+1-x2-4x+4(-1 分析:可先将x2+2x+1和x2-4x+4分别化成(x+1)2和(x-2)2,然后根据x的条件进行化简。
解:原式=(x+1)2-(x-2)2
=x+1-2+x
=2x-1
2、带有数值形式的条件
例2、当x= 时,求式子
的值。
分析:由式子中的a2-2a+1=(a-1)2可知,这个代数式中含有(a-1)2的化简,这就需要明确(a-1)是正或是负。然而此题在已知中给出了字母a的数值,由a=化简可得a=2-3,进而可发掘出a<1这一条件,因此应注意(a-1)2的化简。
解:∵a==2-3<1
∴a-1<0
∴原式=
=a-1+
=a-1+
=2-3-1+2+3
=3
3、利用几何图形或函数图像给出条件
例3、已知,如图:
化简:a2+(a-b)2+(b-c)2=_____。
分析:此题给出的是一条数轴,由数轴可知:a<0,a-b<0,b-c<0。
解:结果为-2a+c。
又如:已知直线l:y=(m-3)x+n-1(m、n为常数)的图像如图所示:
化简式子:|m-n|-n2-4n+4-|m-1=______|。
分析:由函数的图像可知:m-3>0,n-2<0,进而也就知道m>3,n<2,M>n。
解:结果为3-2n。
二、隐含条件
在二次根式的化简中,有些二次根式看来没给条件,若不注意挖掘,就会导致错误的结论。
例4、化简:(a-4)2+(3-a)2
分析:式子虽然没有给出a的条件,但由3-a可知a≤3这一条件。
解:原式=4-a+3-a
=7-2a
三、其它的一些条件
例5、化简:1-2sin10°cos10°
分析:在三角函数中,当角度在0°-90°变化时,正弦值随角度的增大而增大,cos10°=sin80°>sin10°,由此可得,此题含有sin10° 解:原式=(sin10°-cos10°)2
=cos10°-sin10°
四、如果式子确实不含有任何条件时,被开方数中的字母都视为正数进行化简
例6、化简:
解:原式=
在运用a2的性质化简二次根式时,首先应弄清被开方数中被开出来的因式是否具有条件,如果有条件,那条件是什么,然后依据条件进行二次根式的化简。所以,弄清题中有无条件、是什么条件,应该是正确运用a2的性质的保证,千万不能忽视a的条件。
笔者认为主要有以下几种情况:
一、具有明显的条件
在二次根式的化简中,有的二次根式的被开方数中含有明显的条件,可根据指明的条件运用a2的性质化简二次根式。
明显的条件主要有下列几点:
1、带有范围的条件
例1、化简:x2+2x+1-x2-4x+4(-1
解:原式=(x+1)2-(x-2)2
=x+1-2+x
=2x-1
2、带有数值形式的条件
例2、当x= 时,求式子
的值。
分析:由式子中的a2-2a+1=(a-1)2可知,这个代数式中含有(a-1)2的化简,这就需要明确(a-1)是正或是负。然而此题在已知中给出了字母a的数值,由a=化简可得a=2-3,进而可发掘出a<1这一条件,因此应注意(a-1)2的化简。
解:∵a==2-3<1
∴a-1<0
∴原式=
=a-1+
=a-1+
=2-3-1+2+3
=3
3、利用几何图形或函数图像给出条件
例3、已知,如图:
化简:a2+(a-b)2+(b-c)2=_____。
分析:此题给出的是一条数轴,由数轴可知:a<0,a-b<0,b-c<0。
解:结果为-2a+c。
又如:已知直线l:y=(m-3)x+n-1(m、n为常数)的图像如图所示:
化简式子:|m-n|-n2-4n+4-|m-1=______|。
分析:由函数的图像可知:m-3>0,n-2<0,进而也就知道m>3,n<2,M>n。
解:结果为3-2n。
二、隐含条件
在二次根式的化简中,有些二次根式看来没给条件,若不注意挖掘,就会导致错误的结论。
例4、化简:(a-4)2+(3-a)2
分析:式子虽然没有给出a的条件,但由3-a可知a≤3这一条件。
解:原式=4-a+3-a
=7-2a
三、其它的一些条件
例5、化简:1-2sin10°cos10°
分析:在三角函数中,当角度在0°-90°变化时,正弦值随角度的增大而增大,cos10°=sin80°>sin10°,由此可得,此题含有sin10°
=cos10°-sin10°
四、如果式子确实不含有任何条件时,被开方数中的字母都视为正数进行化简
例6、化简:
解:原式=
在运用a2的性质化简二次根式时,首先应弄清被开方数中被开出来的因式是否具有条件,如果有条件,那条件是什么,然后依据条件进行二次根式的化简。所以,弄清题中有无条件、是什么条件,应该是正确运用a2的性质的保证,千万不能忽视a的条件。