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教材是教学的依据，是实现教学目标的重要载体。理解教材是教师有效教学的前提，是提高教学质量的关键。“角的初步认识”是苏教版小学数学教材二年级下册的教学内容，由于角的抽象性，低年级学生不容易建立数学角的几何表象。如何帮助学生有效建立数学角的几何表象呢？又如何根据低年级学生的认知规律设计有效活动，帮助他们建立由模糊到清晰、从直观到抽象的角的认识呢？我们基于理解，进行了教学改进与思考。
一、补充图示，丰富概念
数学与生活紧密相连，教材例1通过两个学生做手工的情境，呈现表面有角的物体，并分别从三角尺、纸工袋、钟面指针抽象出锐角、直角、钝角。教材如此安排是“用心良苦”的，这三个角具有代表性，分别代表了三类角，它们都具有角的特征，含有角这个概念的一般属性。第一次试教，教师依照教材进行教学设计，再请学生找出物体上的角并抽象出三个角后，让学生观察并概括角有什么共同特征。学生不仅说出了教师需要的答案：角有两条线是直的，两条线都靠在一起;还说出了教师意想不到的答案：角的开口都是朝同一个方向的。但是，对学生而言，仅有三个角的视觉表征是不够的。要正确理解角，还要让学生观察大大小小的、不同方向的，还有一些边看起来不一样长的角，从而让学生在观察中经历分析、排除、概括的思维过程，抽取出角的本质属性。于是，我们在教学设计时稍做改变，仍然采用教材主题图，在学生指出三种物体表面的各个角后，有选择性地抽象出了部分不同的角（如图1）。
教材设计有时受版面等因素的限制，图示有限，教师要站在学生的视角，在教学设计中补充图示，丰富概念。如此，更有利于学生理解概念的本质。
二、动态比较，拓宽概念
概念习得要善于利用正例，也要善于利用反例。在“角的初步认识”中，教材编者安排了角的判断练习（如图2），为进一步感知数学角的概念起到了很好的作用。教学中，教师让学生说出判断结论的理由，学生表达流畅。但是，我们总感觉这样的设计缺少对角的内涵的渗透与拓展。经过进一步学习理解，我们从角的静态定义和动态定义得到启发：能否将该练习在动态中进行呢？于是，我们利用多媒体进行了改进。
课件动态演示：在黑屏状态下，屏幕上出现一个亮点，从这一点出发，依次出现两条射线，形成开口方向、大小以及两边长短不同的角，让学生辨析。当屏幕上出现一个角的两条边长短不同时（如图3，为了图的清晰，去除了黑屏），学生开始争辩起来。
生：这不是角，因为一条边长，另一条边短。
生：我觉得还是一个角，因为它有一个顶点和两条边，而且角的两条边不一定要一样长。
师：真好！这个图形确实仍然是一个角，它是由一个顶点和两条边组成的。
教师利用课件依次呈现下面的两个图形（如图4，如图5）。
师：这两个图形也是角吗？
生：不是。
师：为什么？
生：图4中的图形一条边是直的，另一条边是弯的，而角的两条边都应该是直的。
生：图5中的图形没有顶点，也没有两条直直的边。
师：确实如此，我们判断一个图形是不是角，就要紧紧抓住角的特点。角的特点是什么？
生（齐）：都有一个顶点和两条边。
这一教学环节的设计体现了“高立意，低起点”的教学思想。教师变静态的图形判断为动态形成图形之后的判断，充分体现了角的本质特征。教学中，教师运用多媒体手段，在黑屏状态下用亮点和线分别呈现不同的图形，让学生通过对角的变式图形以及正反例的辨析，进一步丰富角的表象，加深对角的特点的认识。
三、分层比较，积累经验
在例1后面，教材安排了试一试（如图6）。通过活动角，学生体验角是有大小的，并会比较角的大小。教学过程中，教师提供活动角，学生在角的变大变小中玩得不亦乐乎，“角是有大小的”“两边张开角变大、两边合拢角变小”。教师对“比较角的大小”教学进行了反思：通过活动角感受“角是有大小的”，既符合低段学生的认知特点，也符合角的本质特征。如何使学生对角的大小有更深的体验呢？我们在原先设计的基础上进行了分层设计，力图加深学生对角的大小体验，积累数学活动经验。
（一）比较活动角的大小
师：既然角是有大小的，我们就来比一比角的大小。拿出你的活动角，要让这个角变大一些，怎么办？
（学生纷纷把手中的活动角的两条边张开一些）
师：要让你手中的活动角变小一些呢？
（学生纷纷把手中的活动角的两条边合拢一些）
师：要让你手中的活动角变得和同桌的一样大，怎么办？
（学生操作后演示：两个活动角顶点与顶点重合，两条边也分别重合）
师：能把你手上的活动角变得和老师这个角一样大吗？
（学生操作后演示：活动角的顶点与三角尺上一个角的顶点重合，活动角的两条边分别与三角尺上这个角的两条边重合）
師：你还能把手上的活动角变得比这个角更大一些吗？
（学生继续演示：让活动角的顶点与老师手中的一个角的顶点重合，一条边与这个角的一条边重合，另一条边往外再张开一些）
师（小结）：比较活动角大小，我们只要顶点对顶点，一条边对一条边，看另一条边在哪里就能比较了。
（二）比较静态角的大小
师：同学们，大家刚才画出的角也是有大有小的。你也能比一比吗？实物展台呈现学生画的两个大小不同的角（如图7）。
师：看一看，知道哪个角大吗？
生：②号角大。
师：你是怎样看出来的？
生：②号角的两条边张开大。
师：是的，角的两条边张开得越大，这个角也就越大。下面的两个角呢？
实物展台呈现图8：
学生意见不统一，有人说③号角大，有人说④号角大，有人说两个角大小相等。
师：意见不统一，怎么办？能利用我们手中的活动角解决问题吗？和你的同桌商量一下。
（学生分组讨论后，继续交流）
生：可以用两个活动角分别比一比（边说边在实物展台上演示），先让一个活动角和③号角一样大，再让另一个活动角和④号角一样大，最后比较两个活动角的大小。
生：用一个活动角也能比出它们的大小（边说边在实物展台上演示），先使活动角和③号角一样大，再用活动角和④号角比一比。
师：你用活动角把这个角搬下来，保持不动，再和另一个角比一比！这个办法更简单了。
学生理解“感受角的大小与两条边张开的大小有关”有一定困难。为此，教学中，教师分两个层次来帮助学生体验、理解。首先，教师为每个学生准备了活动角，让学生在活动中初步体会角的大小与两条边张开的程度有关。然后引导学生按要求制作活动角，把自己所做的活动角“变大一些”“变小一些”“变得和老师的一样大”，使他们进一步明确：角的两条边张开得越大，角就越大;角的两条边张开得越小，角就越小。其次，教师从学生处得到启发，设计了请学生比较两组角（静态角）的大小的活动，帮助他们在巩固对角的大小的认识的同时，进一步体会解决问题方法的多样化，积累了解决问题的经验，发展了数学思维。
（作者单位：江苏省无锡市查桥实验小学）
一、补充图示，丰富概念
数学与生活紧密相连，教材例1通过两个学生做手工的情境，呈现表面有角的物体，并分别从三角尺、纸工袋、钟面指针抽象出锐角、直角、钝角。教材如此安排是“用心良苦”的，这三个角具有代表性，分别代表了三类角，它们都具有角的特征，含有角这个概念的一般属性。第一次试教，教师依照教材进行教学设计，再请学生找出物体上的角并抽象出三个角后，让学生观察并概括角有什么共同特征。学生不仅说出了教师需要的答案：角有两条线是直的，两条线都靠在一起;还说出了教师意想不到的答案：角的开口都是朝同一个方向的。但是，对学生而言，仅有三个角的视觉表征是不够的。要正确理解角，还要让学生观察大大小小的、不同方向的，还有一些边看起来不一样长的角，从而让学生在观察中经历分析、排除、概括的思维过程，抽取出角的本质属性。于是，我们在教学设计时稍做改变，仍然采用教材主题图，在学生指出三种物体表面的各个角后，有选择性地抽象出了部分不同的角（如图1）。
教材设计有时受版面等因素的限制，图示有限，教师要站在学生的视角，在教学设计中补充图示，丰富概念。如此，更有利于学生理解概念的本质。
二、动态比较，拓宽概念
概念习得要善于利用正例，也要善于利用反例。在“角的初步认识”中，教材编者安排了角的判断练习（如图2），为进一步感知数学角的概念起到了很好的作用。教学中，教师让学生说出判断结论的理由，学生表达流畅。但是，我们总感觉这样的设计缺少对角的内涵的渗透与拓展。经过进一步学习理解，我们从角的静态定义和动态定义得到启发：能否将该练习在动态中进行呢？于是，我们利用多媒体进行了改进。
课件动态演示：在黑屏状态下，屏幕上出现一个亮点，从这一点出发，依次出现两条射线，形成开口方向、大小以及两边长短不同的角，让学生辨析。当屏幕上出现一个角的两条边长短不同时（如图3，为了图的清晰，去除了黑屏），学生开始争辩起来。
生：这不是角，因为一条边长，另一条边短。
生：我觉得还是一个角，因为它有一个顶点和两条边，而且角的两条边不一定要一样长。
师：真好！这个图形确实仍然是一个角，它是由一个顶点和两条边组成的。
教师利用课件依次呈现下面的两个图形（如图4，如图5）。
师：这两个图形也是角吗？
生：不是。
师：为什么？
生：图4中的图形一条边是直的，另一条边是弯的，而角的两条边都应该是直的。
生：图5中的图形没有顶点，也没有两条直直的边。
师：确实如此，我们判断一个图形是不是角，就要紧紧抓住角的特点。角的特点是什么？
生（齐）：都有一个顶点和两条边。
这一教学环节的设计体现了“高立意，低起点”的教学思想。教师变静态的图形判断为动态形成图形之后的判断，充分体现了角的本质特征。教学中，教师运用多媒体手段，在黑屏状态下用亮点和线分别呈现不同的图形，让学生通过对角的变式图形以及正反例的辨析，进一步丰富角的表象，加深对角的特点的认识。
三、分层比较，积累经验
在例1后面，教材安排了试一试（如图6）。通过活动角，学生体验角是有大小的，并会比较角的大小。教学过程中，教师提供活动角，学生在角的变大变小中玩得不亦乐乎，“角是有大小的”“两边张开角变大、两边合拢角变小”。教师对“比较角的大小”教学进行了反思：通过活动角感受“角是有大小的”，既符合低段学生的认知特点，也符合角的本质特征。如何使学生对角的大小有更深的体验呢？我们在原先设计的基础上进行了分层设计，力图加深学生对角的大小体验，积累数学活动经验。
（一）比较活动角的大小
师：既然角是有大小的，我们就来比一比角的大小。拿出你的活动角，要让这个角变大一些，怎么办？
（学生纷纷把手中的活动角的两条边张开一些）
师：要让你手中的活动角变小一些呢？
（学生纷纷把手中的活动角的两条边合拢一些）
师：要让你手中的活动角变得和同桌的一样大，怎么办？
（学生操作后演示：两个活动角顶点与顶点重合，两条边也分别重合）
师：能把你手上的活动角变得和老师这个角一样大吗？
（学生操作后演示：活动角的顶点与三角尺上一个角的顶点重合，活动角的两条边分别与三角尺上这个角的两条边重合）
師：你还能把手上的活动角变得比这个角更大一些吗？
（学生继续演示：让活动角的顶点与老师手中的一个角的顶点重合，一条边与这个角的一条边重合，另一条边往外再张开一些）
师（小结）：比较活动角大小，我们只要顶点对顶点，一条边对一条边，看另一条边在哪里就能比较了。
（二）比较静态角的大小
师：同学们，大家刚才画出的角也是有大有小的。你也能比一比吗？实物展台呈现学生画的两个大小不同的角（如图7）。
师：看一看，知道哪个角大吗？
生：②号角大。
师：你是怎样看出来的？
生：②号角的两条边张开大。
师：是的，角的两条边张开得越大，这个角也就越大。下面的两个角呢？
实物展台呈现图8：
学生意见不统一，有人说③号角大，有人说④号角大，有人说两个角大小相等。
师：意见不统一，怎么办？能利用我们手中的活动角解决问题吗？和你的同桌商量一下。
（学生分组讨论后，继续交流）
生：可以用两个活动角分别比一比（边说边在实物展台上演示），先让一个活动角和③号角一样大，再让另一个活动角和④号角一样大，最后比较两个活动角的大小。
生：用一个活动角也能比出它们的大小（边说边在实物展台上演示），先使活动角和③号角一样大，再用活动角和④号角比一比。
师：你用活动角把这个角搬下来，保持不动，再和另一个角比一比！这个办法更简单了。
学生理解“感受角的大小与两条边张开的大小有关”有一定困难。为此，教学中，教师分两个层次来帮助学生体验、理解。首先，教师为每个学生准备了活动角，让学生在活动中初步体会角的大小与两条边张开的程度有关。然后引导学生按要求制作活动角，把自己所做的活动角“变大一些”“变小一些”“变得和老师的一样大”，使他们进一步明确：角的两条边张开得越大，角就越大;角的两条边张开得越小，角就越小。其次，教师从学生处得到启发，设计了请学生比较两组角（静态角）的大小的活动，帮助他们在巩固对角的大小的认识的同时，进一步体会解决问题方法的多样化，积累了解决问题的经验，发展了数学思维。
（作者单位：江苏省无锡市查桥实验小学）