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摘 要：本文阐述的是在新课堂的实践与研究中，重新审视教学中常见的数学问题，并以此为例，经过尝试与思考，渗透“数形”结合的数学思想。积极为学生提供使用“形象化”策略解决问题的情境，使得学生能将数学关系视觉化，对比较抽象的数学系统作出一种形象的解释，并使数学思维受之启迪，绽放异彩。
关键词：数形结合;助力;数学关系视觉化;空间观念
教科书首先指出：“人们在解决问题时，使用一定的策略是非常重要的。”事实上，学生也总能有意无意地使用一定的策略来解决问题。教师也常在两个方面入手：一是明确一些策略，二是为学生提供使用这些策略的情境。谈起“形象化”这一策略，大家并不陌生。它主要渗透“数形结合”的思想，努力完善语言——逻辑和视觉——形象这两方面的相互转化，即在一定的程度上依靠视觉意象，把数学关系视觉化，对比较抽象的数学系统作出一种形象的解释。这样既可以将复杂的问题简单化，同时也有助于形成良好的探究思路，达到问题解决。数学家华罗庚曾说“数无形则少直观，形无数则难入微”。
下面，我将在课堂的实践教学之中，以常见的数学问题为例，谈小学数学“形象化”策略的运用。
一、 “形”助力于理：浅出深入
五年级下册教学“分数乘分数”这一章节，教材根据算式的意义，运用直观操作方式（折纸、画图等）展示了探索的过程，借助直观模型掌握分数乘分数的计算方法。从中可以体会到教参的意图，十分强调并鼓励学生用画图帮助理解算理，借助直观模型理解思考计算方法，将意义、算理及形的表达有机地融合在一起。为了更好地执行教参的教学意图，我将“形 理”的融合渗透到后续的教学之中。如在六年级学习比的知识时，学生遇到题目如下：将装满的一杯果汁，第一次喝了四分之一，再加了相应的水;第二次又喝了六分之一，又加了相应的水，算出这时候果汁和水之间的比是多少？有的学生刚接触，思路茫然且无从下手。如何理清思维脉络呢？教学上我采取“形象化”策略，描绘出此题已知关系如图1所示，直观地感受到分数单位间的变化，经历了变化的过程。学生从图中不难看出，喝了两次后加的水占整杯的二十四分之九，那么果汁就占整杯的二十四分之十五，这样果汁和水之间的比就是15∶9。学生在观察与转化、解释与应用的活动过程中，操作经验和思维活动经验再次相互碰撞，并得到升华。
二、 “形”助推于数：思维舒展
“鸡兔同笼”是一道古代趣题。在新课堂的展学中，学生在原有解题方法上，如何尝试用长方形图来解决呢？值得探究。
如例：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
依然将此题的数量关系形象化，如图2所示。
AG表示兔的只数，AB表示鸡的只数，
S长方形EFGA S長方形ABCD=94，
S长方形BCHG=2×35=70，
S长方形HDEF=94-70=24，
EF=24÷2=12，AB=35-12=23，
所以笼中有24只鸡，12只兔。
应该说，此题大部分学生拥有了充分的解题的经验积累。而在新课堂的展学中，学生通过小组内的互动与交流，发现了它与长方形的面积公式：S=A×B有着相似之处，就是具有（ ）×（ ）=（ ）的形式。于是就有了利用“形象化”来描述和分析题目的想法，并达到巧妙解题。
事实也证明，学生收获到不一样的思维体验与扩充，并乐在其中。正如美国教育家杜威所说的，“教育就是学生经验不断生长的过程”。
三、 “形”助学于体：直观形象
在北师大版六年级下册第一单元，学习圆柱的表面积，学生可以借助形，充分利用圆柱的展开图，来探究新的知识。这里对于圆柱的侧面积展开后是一张以圆底面的周长为长，以圆柱的高为宽的长方形，随之再加上两个圆底面，所得的结果就是圆柱的表面积的大小。如果教学中只停留在这的话，势必在解决圆柱表面积的练习中，会出现部分学生既要利用圆的半径或直径来求圆底面周长，又要求出圆底面的面积，因知识上两者的联系和区别，易造成应用上的冲突，而导致解题错误。
研究发现，教师引导学生学习核心知识时的差异会导致学生知识理解和接受的差异。学生只有对核心知识达到深层次的理解，才能形成一个稳定的知识结构。
老师有必要引导全班学生把核心知识学懂。为此，学生在自学的基础上，回顾六年级上册有关圆面积公式的推导方法。并基于教学分析和学生认知分析，贯穿“引导、操作、实证”的教学方法，提供合适的学习材料，使得学生在小组内的互学过程中，将圆柱的两个圆底面各自等分成若干份，将之拼成一个以圆底面周长为长，以半径为宽的近似的长方形，再将侧面展开的长方形与之衔接为一个大一点的长方形，这样的拼接巧妙地将一个三维的几何形体，转化成二维的平面（长方形）。拼接后的形象图如图3所示，那么学生易看出，拼成后的长方形的长相等（都是圆底面的周长），宽则是在圆柱高度的基础上再增加半径的长度。最后，再利用求长方形的面积公式S=ab，求出圆柱的表面积。
这种“形 形”巧妙结合，不仅促进了学生去思考平面与立体关系，更在空间的“知觉—表象—想象”这三者的交替循环中，使得学生的空间观念这一核心素养得到有效的发展。
图3
数学不应追求一步到位，而应让学生在积淀中，逐渐去积累与形成多种策略解题的方法。在此之中，“形”就犹如学习中的助推器，更多的用“形”来直观地描述、理解和分析问题，将会使新课堂的学习效果更加为之出彩。
参考文献：
[1]龚雄飞.龚雄飞与学本教学[M].北京：北京师范大学出版社，2016.
[2]黄爱华.黄爱华与智慧课堂[M].北京：北京师范大学出版社，2005.
[3]李星云.小学数学专题研究[M].苏州：苏州大学出版社，2001.
作者简介：张丽红，福建省泉州市，泉州市丰泽区第三中心小学。
关键词：数形结合;助力;数学关系视觉化;空间观念
教科书首先指出：“人们在解决问题时，使用一定的策略是非常重要的。”事实上，学生也总能有意无意地使用一定的策略来解决问题。教师也常在两个方面入手：一是明确一些策略，二是为学生提供使用这些策略的情境。谈起“形象化”这一策略，大家并不陌生。它主要渗透“数形结合”的思想，努力完善语言——逻辑和视觉——形象这两方面的相互转化，即在一定的程度上依靠视觉意象，把数学关系视觉化，对比较抽象的数学系统作出一种形象的解释。这样既可以将复杂的问题简单化，同时也有助于形成良好的探究思路，达到问题解决。数学家华罗庚曾说“数无形则少直观，形无数则难入微”。
下面，我将在课堂的实践教学之中，以常见的数学问题为例，谈小学数学“形象化”策略的运用。
一、 “形”助力于理：浅出深入
五年级下册教学“分数乘分数”这一章节，教材根据算式的意义，运用直观操作方式（折纸、画图等）展示了探索的过程，借助直观模型掌握分数乘分数的计算方法。从中可以体会到教参的意图，十分强调并鼓励学生用画图帮助理解算理，借助直观模型理解思考计算方法，将意义、算理及形的表达有机地融合在一起。为了更好地执行教参的教学意图，我将“形 理”的融合渗透到后续的教学之中。如在六年级学习比的知识时，学生遇到题目如下：将装满的一杯果汁，第一次喝了四分之一，再加了相应的水;第二次又喝了六分之一，又加了相应的水，算出这时候果汁和水之间的比是多少？有的学生刚接触，思路茫然且无从下手。如何理清思维脉络呢？教学上我采取“形象化”策略，描绘出此题已知关系如图1所示，直观地感受到分数单位间的变化，经历了变化的过程。学生从图中不难看出，喝了两次后加的水占整杯的二十四分之九，那么果汁就占整杯的二十四分之十五，这样果汁和水之间的比就是15∶9。学生在观察与转化、解释与应用的活动过程中，操作经验和思维活动经验再次相互碰撞，并得到升华。
二、 “形”助推于数：思维舒展
“鸡兔同笼”是一道古代趣题。在新课堂的展学中，学生在原有解题方法上，如何尝试用长方形图来解决呢？值得探究。
如例：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
依然将此题的数量关系形象化，如图2所示。
AG表示兔的只数，AB表示鸡的只数，
S长方形EFGA S長方形ABCD=94，
S长方形BCHG=2×35=70，
S长方形HDEF=94-70=24，
EF=24÷2=12，AB=35-12=23，
所以笼中有24只鸡，12只兔。
应该说，此题大部分学生拥有了充分的解题的经验积累。而在新课堂的展学中，学生通过小组内的互动与交流，发现了它与长方形的面积公式：S=A×B有着相似之处，就是具有（ ）×（ ）=（ ）的形式。于是就有了利用“形象化”来描述和分析题目的想法，并达到巧妙解题。
事实也证明，学生收获到不一样的思维体验与扩充，并乐在其中。正如美国教育家杜威所说的，“教育就是学生经验不断生长的过程”。
三、 “形”助学于体：直观形象
在北师大版六年级下册第一单元，学习圆柱的表面积，学生可以借助形，充分利用圆柱的展开图，来探究新的知识。这里对于圆柱的侧面积展开后是一张以圆底面的周长为长，以圆柱的高为宽的长方形，随之再加上两个圆底面，所得的结果就是圆柱的表面积的大小。如果教学中只停留在这的话，势必在解决圆柱表面积的练习中，会出现部分学生既要利用圆的半径或直径来求圆底面周长，又要求出圆底面的面积，因知识上两者的联系和区别，易造成应用上的冲突，而导致解题错误。
研究发现，教师引导学生学习核心知识时的差异会导致学生知识理解和接受的差异。学生只有对核心知识达到深层次的理解，才能形成一个稳定的知识结构。
老师有必要引导全班学生把核心知识学懂。为此，学生在自学的基础上，回顾六年级上册有关圆面积公式的推导方法。并基于教学分析和学生认知分析，贯穿“引导、操作、实证”的教学方法，提供合适的学习材料，使得学生在小组内的互学过程中，将圆柱的两个圆底面各自等分成若干份，将之拼成一个以圆底面周长为长，以半径为宽的近似的长方形，再将侧面展开的长方形与之衔接为一个大一点的长方形，这样的拼接巧妙地将一个三维的几何形体，转化成二维的平面（长方形）。拼接后的形象图如图3所示，那么学生易看出，拼成后的长方形的长相等（都是圆底面的周长），宽则是在圆柱高度的基础上再增加半径的长度。最后，再利用求长方形的面积公式S=ab，求出圆柱的表面积。
这种“形 形”巧妙结合，不仅促进了学生去思考平面与立体关系，更在空间的“知觉—表象—想象”这三者的交替循环中，使得学生的空间观念这一核心素养得到有效的发展。
图3
数学不应追求一步到位，而应让学生在积淀中，逐渐去积累与形成多种策略解题的方法。在此之中，“形”就犹如学习中的助推器，更多的用“形”来直观地描述、理解和分析问题，将会使新课堂的学习效果更加为之出彩。
参考文献：
[1]龚雄飞.龚雄飞与学本教学[M].北京：北京师范大学出版社，2016.
[2]黄爱华.黄爱华与智慧课堂[M].北京：北京师范大学出版社，2005.
[3]李星云.小学数学专题研究[M].苏州：苏州大学出版社，2001.
作者简介：张丽红，福建省泉州市，泉州市丰泽区第三中心小学。