论文部分内容阅读
逻辑推理是数学核心素养的重要组成部分，是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，也是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质[1].平面几何问题是发展学生逻辑推理素养的有效载体.针对某一平面几何问题，通过多种添加辅助线方法的对比研究，对各种证明思路的深度分析和证明过程完整的数学表达，不仅有助于指导学生学会把握几何问题的条件与结论之间的关联，也有助于促进学生掌握逻辑推理的基本形式，指导学生提高有逻辑地思考和数学的表达交流能力.下面以2016年全国高中数学联赛山西赛区预赛第二题为例，阐述通过平面几何问题培养学生逻辑推理能力的研究与实践.
1一道高中数学竞赛题的多种解法
问题如图1，在△ABC中，M、N分别为边AB、AC上的点，且满足BMMA CNNA=1.证明：线段MN经过△ABC的重心[2].
分析如图2，设AC的中点为D（说明：此处过三角形任意顶点做三角形中线，与MN的交点都可证明是三角形的重心），连接BD，因为CDDA=1，CNNA<1，所以点N在线段CD内.从而线段BD与MN相交，设交点为G.若证线段MN经过△ABC的重心，只要能证明BGGD=2（或DGGB=12）即可，此时，见到线段之比，联系初中数学知识，学生容易想到平行线分线段成比例定理，因此，只要恰当作出辅助平行线便可证明上述结论成立.但问题是，如何添加辅助平行线？图中已有的线段无非是三角形的边、三角形的中线和线段MN，在此，教师可以引导学生做出如下探究：1.1第一类添加辅助线的方法：作三角形一边的平行线
方法1如图3，过点B作BH∥AC，交NM的延长线于点H.
由平行线分线段成比例定理，得
BGGD=BHDN，①
AMMB=ANBH.②
由①×②得BGGD·AMMB=ANDN，
即BGGD=BMMA·ANDN.
因为BMMA CNNA=1，
所以BMMA=1―CNNA=NA-CNNA.
所以BGDG=NA-CNNA·NAND=NA-CNND.
因为D为AC的中点，所以AD=DC，
又因为AN=AD DN=DC DN，CN=DC-DN.
所以BGDG=DC DN-DC DNND=2.
所以点G为△ABC的重心，即线段MN经过△ABC的重心.
方法2如图4，过点D作DH∥AB交MN于点H.
由平行线截线段成比例定理，得
BGGD=BMDH，①
DNAN=DHAM.②
由①×②得BGGD·DNAN=BMAM，
即BGGD=BMMA·ANDN.
以下同方法1，略.
1.2第二类添加辅助线的方法：作MN的平行线
方法1如图5，过点D作DH∥MN，交AB于点H.
由平行线分线段成比例定理，得
DNAN=HMAM，①
BGGD=BMMH.②
由①×②得BGGD·DNAN=BMAM，即BGGD=BMMA·ANDN.
以下证明过程略.
方法2如图6，过点A作AH∥MN，交BD的延长线于点H.
由平行线分线段成比例定理，得
DNAN=GDGH，①
AMBM=GHBG.②
由①×②得DNAN·AMBM=GDBG，即BGGD=BMMA·ANDN.
以下证明过程略.1.3第三类添加辅助线的方法：作三角形中线的平行线
方法1如图7，过点A作AH∥BD，交NM的延长线于点H.
由平行线分线段成比例定理，得
BGAH=BMMA，①
AHDG=NAND.②
由①×②得BGDG=BMMA·NAND.
以下证明过程略.图8
方法2如图8，如果我们作BC边上的中线AD，当然还可以过点B作BQ∥AD交NM的延长线于点Q，过点C作CP∥AD交MN的延长线于点P，应用平行线分线段成比例定理和梯形中位线定理仍然可以轻松证明AD与MN交点G为△ABC的重心.上述这种方法笔者不再详细写出过程，感兴趣的读者可探索完成.
2高中课标中对逻辑推理能力的要求
逻辑推理是数学核心素养之一，是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养.《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称“标准”）要求通过高中数学课程的学习，学生要掌握逻辑推理的基本形式，学会有逻辑的思考問题，能够在比较复杂的情境中把握事物之间的关联和发展脉络，形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神，并不断增强交流能力[3].事实上，根据高中学生认知发展的基础和目标，结合“标准”对逻辑推理素养发展水平的指标要求，我们可以确定如下阶段目标：
高一阶段，学生要能够在熟悉的情境中，运用归纳或类比的方法，发现数量或图形的性质、数量关系或图形关系；能够证明简单的数学命题并有条理地表述论证过程；能够了解熟悉的概念、定理之间的逻辑关系，在数学的表达交流过程中，明确所讨论问题的内涵，并能够有条理地表达自己的观点.高二阶段，学生能够在关联的情境中发现并提出数学问题，运用数学语言予以表达；能够理解归纳、类比是发现和提出数学命题的重要途径；能够对与学过的知识有关联的数学命题，通过对条件与结果的分析，探索论证的思路，选择合适的论证方法予以证明，并能运用准确的数学语言表述论证过程.高三阶段，能够在综合的情境中，用数学的眼光找到合适的研究对象，提出有意义的数学问题；能够掌握常用逻辑推理方法的规则，理解其中所蕴含的思想；对于新的数学问题，能够提出不同的假设前提，推断结论，形成数学命题；对于较复杂的数学问题，通过构建过渡性命题，探索论证的途径，解决问题，并会用严谨的数学语言表达论证过程. 可见，高中数学学习对于学生推理能力的培养是在特定的情境中，要求学生用数学的眼光去发现问题，尝试不同角度不同的方法去解决问题，然后在解决问题中归纳方法、提炼思想、训练思维、形成能力.
3对平面几何教学的启示
根据“标准”对学生逻辑推理能力的要求，在日常数学课堂教学中，教师如何基于一道平面几何题多种方法的解答，深刻挖掘学习载体的育人价值，发展学生逻辑推理素养，笔者认为教师可以着力从以下四个方面切入.
3.1学会数学阅读，注重条件转化
数学阅读是高效解题的重要前提，作为数学教师，要有意识地培养学生数学阅读的习惯和方法.数学的阅读不同于语文和英语等学科的阅读，数学阅读应是有逻辑的阅读，读一句，马上分析这一句包含哪些数学信息，背后隐藏的还有哪些数学信息，如果是几何问题，还要将文字语言转化为图形语言，从而深化对问题的理解；再读下一句，挖掘条件背后的信息，要结合上一句所挖掘出来的结论一起，看是否生成新的结论.只有成功将所给条件理解透彻，才能知道解决问题的目标是什么，已经具备的条件是什么，还需要寻找的结论有哪些.可以说，数学阅读是培养逻辑思维能力的重要载体，是成功解决问题的先决条件.为此，教师在课堂上切记要把阅读的权利还给学生，给他们留出足够的阅读和思考时间，不可代替学生阅读问题和分析问题，并通过有针对性的提问引导学生表达对问题的理解和进行理性分析.3.2鼓励大胆思考，注重能力提升
数学问题的解决具有很强的灵活性，教师在问题讲解时，不要过早提出自己的解决方案，应鼓励学生从自己认识问题的角度去分析，尝试给出问题的解决办法.此外，要给学生足够的时间去思考，在引导学生的过程中，要注重知识体系的构建，对于解决某一类问题的方法要在日常教学中进行归纳概括，长此以往，学生在解决问题时就很容易想到一系列解决这一问题的方法，因此容易生成多种解决策略，然后在多种策略中进行优化选择，提升解题能力.
3.3创设展示机会，注重数学表达
学生讲解问题的过程，就是将头脑中的思考以一种逻辑清晰的方式进行表达的过程，尤其对于一题多解的问题，为学生搭建平台，引导学生学会梳理问题思考的角度和分析的过程，并通过对多种证明思路和方法的分享促进学生数学的表达，这对于发展学生的邏辑推理素养，具有重要意义.
3.4立足方法建构，注重提炼概括
多种方法解题的目的绝不仅是学习同一问题解答的多个方法，教师一定不能满足于学生学会了几种方法，而是要引导学生发现多种方法的异同，归纳解题的核心和关键，提炼解决这一类问题可推广的一般方法和常规思路.因此，教师要能够站在一个新的高度，立足于多种方法，引导学生透过现象看本质，让学生经历从多角度思考问题、多渠道解决问题，到提炼核心本质、掌握研究的“基本套路”这一过程，这是发展学生数学逻辑推理素养的重要途径.
作为中学数学教师，只要我们把学生放在课堂的正中央，以学生获得个人终身发展和社会发展需要的思维品质与关键能力为出发点，注重学习内容的数学本质，深入挖掘蕴含其中的数学思想，研究和改进课堂教学行为方式，引导学生亲历数学化的思维过程，必然能为学生数学素养的提升创设足够的时空[3].
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018年1月.
[2]王光.2016年全国高中数学联赛山西赛区预赛[J].中等数学，2017（3）：25-28.
[3]李树臣，庄志宏.正确认识核心素养强化核心素养教学[J].中学数学杂志，2018（2）：4-8.
1一道高中数学竞赛题的多种解法
问题如图1，在△ABC中，M、N分别为边AB、AC上的点，且满足BMMA CNNA=1.证明：线段MN经过△ABC的重心[2].
分析如图2，设AC的中点为D（说明：此处过三角形任意顶点做三角形中线，与MN的交点都可证明是三角形的重心），连接BD，因为CDDA=1，CNNA<1，所以点N在线段CD内.从而线段BD与MN相交，设交点为G.若证线段MN经过△ABC的重心，只要能证明BGGD=2（或DGGB=12）即可，此时，见到线段之比，联系初中数学知识，学生容易想到平行线分线段成比例定理，因此，只要恰当作出辅助平行线便可证明上述结论成立.但问题是，如何添加辅助平行线？图中已有的线段无非是三角形的边、三角形的中线和线段MN，在此，教师可以引导学生做出如下探究：1.1第一类添加辅助线的方法：作三角形一边的平行线
方法1如图3，过点B作BH∥AC，交NM的延长线于点H.
由平行线分线段成比例定理，得
BGGD=BHDN，①
AMMB=ANBH.②
由①×②得BGGD·AMMB=ANDN，
即BGGD=BMMA·ANDN.
因为BMMA CNNA=1，
所以BMMA=1―CNNA=NA-CNNA.
所以BGDG=NA-CNNA·NAND=NA-CNND.
因为D为AC的中点，所以AD=DC，
又因为AN=AD DN=DC DN，CN=DC-DN.
所以BGDG=DC DN-DC DNND=2.
所以点G为△ABC的重心，即线段MN经过△ABC的重心.
方法2如图4，过点D作DH∥AB交MN于点H.
由平行线截线段成比例定理，得
BGGD=BMDH，①
DNAN=DHAM.②
由①×②得BGGD·DNAN=BMAM，
即BGGD=BMMA·ANDN.
以下同方法1，略.
1.2第二类添加辅助线的方法：作MN的平行线
方法1如图5，过点D作DH∥MN，交AB于点H.
由平行线分线段成比例定理，得
DNAN=HMAM，①
BGGD=BMMH.②
由①×②得BGGD·DNAN=BMAM，即BGGD=BMMA·ANDN.
以下证明过程略.
方法2如图6，过点A作AH∥MN，交BD的延长线于点H.
由平行线分线段成比例定理，得
DNAN=GDGH，①
AMBM=GHBG.②
由①×②得DNAN·AMBM=GDBG，即BGGD=BMMA·ANDN.
以下证明过程略.1.3第三类添加辅助线的方法：作三角形中线的平行线
方法1如图7，过点A作AH∥BD，交NM的延长线于点H.
由平行线分线段成比例定理，得
BGAH=BMMA，①
AHDG=NAND.②
由①×②得BGDG=BMMA·NAND.
以下证明过程略.图8
方法2如图8，如果我们作BC边上的中线AD，当然还可以过点B作BQ∥AD交NM的延长线于点Q，过点C作CP∥AD交MN的延长线于点P，应用平行线分线段成比例定理和梯形中位线定理仍然可以轻松证明AD与MN交点G为△ABC的重心.上述这种方法笔者不再详细写出过程，感兴趣的读者可探索完成.
2高中课标中对逻辑推理能力的要求
逻辑推理是数学核心素养之一，是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养.《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称“标准”）要求通过高中数学课程的学习，学生要掌握逻辑推理的基本形式，学会有逻辑的思考問题，能够在比较复杂的情境中把握事物之间的关联和发展脉络，形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神，并不断增强交流能力[3].事实上，根据高中学生认知发展的基础和目标，结合“标准”对逻辑推理素养发展水平的指标要求，我们可以确定如下阶段目标：
高一阶段，学生要能够在熟悉的情境中，运用归纳或类比的方法，发现数量或图形的性质、数量关系或图形关系；能够证明简单的数学命题并有条理地表述论证过程；能够了解熟悉的概念、定理之间的逻辑关系，在数学的表达交流过程中，明确所讨论问题的内涵，并能够有条理地表达自己的观点.高二阶段，学生能够在关联的情境中发现并提出数学问题，运用数学语言予以表达；能够理解归纳、类比是发现和提出数学命题的重要途径；能够对与学过的知识有关联的数学命题，通过对条件与结果的分析，探索论证的思路，选择合适的论证方法予以证明，并能运用准确的数学语言表述论证过程.高三阶段，能够在综合的情境中，用数学的眼光找到合适的研究对象，提出有意义的数学问题；能够掌握常用逻辑推理方法的规则，理解其中所蕴含的思想；对于新的数学问题，能够提出不同的假设前提，推断结论，形成数学命题；对于较复杂的数学问题，通过构建过渡性命题，探索论证的途径，解决问题，并会用严谨的数学语言表达论证过程. 可见，高中数学学习对于学生推理能力的培养是在特定的情境中，要求学生用数学的眼光去发现问题，尝试不同角度不同的方法去解决问题，然后在解决问题中归纳方法、提炼思想、训练思维、形成能力.
3对平面几何教学的启示
根据“标准”对学生逻辑推理能力的要求，在日常数学课堂教学中，教师如何基于一道平面几何题多种方法的解答，深刻挖掘学习载体的育人价值，发展学生逻辑推理素养，笔者认为教师可以着力从以下四个方面切入.
3.1学会数学阅读，注重条件转化
数学阅读是高效解题的重要前提，作为数学教师，要有意识地培养学生数学阅读的习惯和方法.数学的阅读不同于语文和英语等学科的阅读，数学阅读应是有逻辑的阅读，读一句，马上分析这一句包含哪些数学信息，背后隐藏的还有哪些数学信息，如果是几何问题，还要将文字语言转化为图形语言，从而深化对问题的理解；再读下一句，挖掘条件背后的信息，要结合上一句所挖掘出来的结论一起，看是否生成新的结论.只有成功将所给条件理解透彻，才能知道解决问题的目标是什么，已经具备的条件是什么，还需要寻找的结论有哪些.可以说，数学阅读是培养逻辑思维能力的重要载体，是成功解决问题的先决条件.为此，教师在课堂上切记要把阅读的权利还给学生，给他们留出足够的阅读和思考时间，不可代替学生阅读问题和分析问题，并通过有针对性的提问引导学生表达对问题的理解和进行理性分析.3.2鼓励大胆思考，注重能力提升
数学问题的解决具有很强的灵活性，教师在问题讲解时，不要过早提出自己的解决方案，应鼓励学生从自己认识问题的角度去分析，尝试给出问题的解决办法.此外，要给学生足够的时间去思考，在引导学生的过程中，要注重知识体系的构建，对于解决某一类问题的方法要在日常教学中进行归纳概括，长此以往，学生在解决问题时就很容易想到一系列解决这一问题的方法，因此容易生成多种解决策略，然后在多种策略中进行优化选择，提升解题能力.
3.3创设展示机会，注重数学表达
学生讲解问题的过程，就是将头脑中的思考以一种逻辑清晰的方式进行表达的过程，尤其对于一题多解的问题，为学生搭建平台，引导学生学会梳理问题思考的角度和分析的过程，并通过对多种证明思路和方法的分享促进学生数学的表达，这对于发展学生的邏辑推理素养，具有重要意义.
3.4立足方法建构，注重提炼概括
多种方法解题的目的绝不仅是学习同一问题解答的多个方法，教师一定不能满足于学生学会了几种方法，而是要引导学生发现多种方法的异同，归纳解题的核心和关键，提炼解决这一类问题可推广的一般方法和常规思路.因此，教师要能够站在一个新的高度，立足于多种方法，引导学生透过现象看本质，让学生经历从多角度思考问题、多渠道解决问题，到提炼核心本质、掌握研究的“基本套路”这一过程，这是发展学生数学逻辑推理素养的重要途径.
作为中学数学教师，只要我们把学生放在课堂的正中央，以学生获得个人终身发展和社会发展需要的思维品质与关键能力为出发点，注重学习内容的数学本质，深入挖掘蕴含其中的数学思想，研究和改进课堂教学行为方式，引导学生亲历数学化的思维过程，必然能为学生数学素养的提升创设足够的时空[3].
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018年1月.
[2]王光.2016年全国高中数学联赛山西赛区预赛[J].中等数学，2017（3）：25-28.
[3]李树臣，庄志宏.正确认识核心素养强化核心素养教学[J].中学数学杂志，2018（2）：4-8.