论文部分内容阅读
[摘 要]在学习“几何与图形”时，学生往往存在思维混乱、混淆等情况。分析造成学生思维困扰的原因，并通过关注学科知识系统，整体感知有效建构；把握概念本质内涵，学会主动建模；同化顺应改造提升，实现数学知识数学化；俯身克服实际困难，切实发展空间观念；等等策略来培养学生的空间观念和几何直观能力，切实发展学生的数学素养。
[关键词]图形几何 导引策略 思维困扰
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）11-023
在“几何与图形”的教学中，教师应帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力，但很大一部分学生在学习中存在思维混乱、混淆等情况，导致学习“几何与图形”成为难点。为此，我尝试分析“几何与图形”教学中学生思维混乱的成因，对“几何与图形”学习中典型的学生困惑进行了引导策略探究，从而培养学生的空间观念和几何直观能力，切实发展学生的数学素养。
一、关注学科知识系统，整体感知有效建构
小学生具有直观想象为主的特点，他们需要借助视觉、听觉、触觉等感官来认知几何图形。因此，教师要引导学生通过看、摸、做等来把握几何图形的特征，从而使他们对几何图形产生稳定、清晰的空间观念。比如，三角形的高是指三角形的顶点到它对边的距离，这样的定义相对抽象，学生难以理解。在教学时，教师可让学生感知生活中各种高的存在形式，并且出示不同的三角形物品，让学生画它们的高，从而使学生对三角形的高有较为全面而深刻的认识。
【例1】“三角形的高”的教学片断
1.复习引入
（1）过A、B两点画一条直线；
（2）從直线AB外一点C，画出点C到直线AB的距离；
提问：从直线AB外一点C到直线AB的距离，是怎么画的？
（由C点向直线AB画垂直的线段，就是C点到直线AB的距离，并板书“垂直线段”）
（3）过直线外一点C画直线AB的平行线；
（4）在直线AB的平行线上任取两点，画出它们到直线AB的距离。
提问：在直线AB的平行线上任取两点，它到直线AB的距离如何，为什么？
（长度相同，因为平行线间距离处处相等）
2.引入课题
提问：如果用直的线连接AC、BC、AB，那么AC、BC、AB间的部分叫什么？连接后就形成了什么图形？（线段AC、BC、AB；连接后形成一个三角形。）
三角形高的画法：
（1）反思三角形高的形成
指着黑板中三角形ABC内的一条线段（即点C到直线AB的距离），问：该线段是怎么画出来的？
点C到AB边的距离，就是三角形ABC底边AB上的高。
课的开始，复习点到直线的距离、平行线间的距离、线段及线段与直线的关系等都是本节课新知识的生长点，其中点到直线的距离——点到线段的距离——点到三角形边的距离的揭示过程，让学生经历三角形的高的画法的形成过程（即过程目标），让数学知识构成网状结构，有利于学生对知识的整体感知和有效建构。
二、把握概念本质内涵，学会主动建模
学会数学思维首要的是先学会数学抽象，数学概念作为数学抽象的产物，其反映的是一类事物或现象在量的方面的共同性质。在学生获得大量感知的基础上，教师还要让学生深刻领会概念的本质意义，准确地把握概念的内涵和外延，参与概念建构的过程。教师要引导学生运用逻辑思维方法全面、深入地思考问题，探究问题的实质，以便科学、简便地解决问题。
【例2】“三角形的概念”的教学片断
师：请同学们根据在生活中观察到的三角形与看到老师刚才画三角形的过程，来说一说下列图形是不是三角形，并说出理由。
（1）出示图6
学生一致认为不是三角形。理由是三角形的三条边应是直的线段，但在这个图形中有一条边是弯曲的。
师：同学们认为三角形是由三条线段围成的图形。（板书：三条线段围成的图形）
（2）出示图7
学生集体认为该图形不是三角形，理由是三条线段头尾没有连接在一起。
师完整说出三角形的概念：三条线段头尾相连围成的图形。（板书：头尾相连）
（3）出示图8
学生判断是三角形，理由是该图符合三角形的概念特征。
（4）出示图9
学生判定不是三角形。
师：“谁能想办法把它变成三角形吗？”
生：“缩短或延长其中一条线段，让三条线段头尾相连就可以了。”
数学学习是学生主动建构数学化的一个过程。学生虽然不能完整描述三角形的概念，但是三角形的模型在他们的脑海中还是有一定印象的。此时教师关键在于如何引导学生让其对三角形的模糊认识提升到一个比较清晰的表象。因此，该环节当中利用三次辨析来让学生不断完善三角形的概念，使之在脑子中形成深刻的表象，这是一个比较典型的数学建模过程，充分尊重了学生的已有经验。在小学数学教学中，教师应特别注意以下两点：第一，数学抽象源于现实及人们的运作；第二，数学抽象又高于现实，它是一种建构的活动。
三、同化顺应改造提升，实现数学知识数学化
数学教学应该生活化、活动化，数学应回归生活是新课程实施的要求之一，但仅仅用“回归”是难以概括生活与数学的关系的。生活中获得的各种经历、体验不一定能为抽象的数学概念提供适宜的基础，甚至还会被各种因素所干扰。“生活数学”与“学校数学”之间有着本质区别。正如皮亚杰所说，在此所发生的并不只是所谓的“同化”，而是如何将新的材料纳入主体已有的认知结构之中，从而使之获得一定的意义，而主要是一个“顺应”的过程，即如何对主体已有的认知结构做出必要的调整或重建。 【例3】“三角形的稳定性”的教学片断
生1：“我发现有的三角形没有稳定性！”
师：“是吗？那就让我们来体验一下三角形的稳定性吧。请同桌之间相互拉一拉三角形的木架来进行感知。”
突然一位学生拿着三根小棒钉成的三角形木架叫道：“我发现有的三角形没有稳定性！”
学生手上的木架是三角形的，三角形具有稳定性，但学生手上的三角形木架却不稳定，为什么呢？
带着思考和疑问，我请教了经验丰富的教师，并查阅了大量的资料后，发现造成以上现象大致原因有二：一是将几何中“三角形”图形与生活中的“三角形”物体混为一谈；二是将生活中的“稳固”与三角形的“稳定性”混为一谈。
为解决上述学生的认知误区，我让学生在生活图片中感悟稳定性，在操作中初步体验三角形的稳定性，并在思考中领悟稳定性的本质含义。
数学教学应该与学生的生活经验对接，但在活动化、生活化的同时，数学应与生活经验建立联系，但在“生活化”“活动化”的过程中，教师要唤醒学生与数学本质相通的生活体验和知识，适时对学生的经验进行重组、改造和提升，以防止数学内涵的流失。数学教学的活动化、生活化的最终归宿是学生对数学知识的数学化。
四、克服实际困难，切实发展空间观念
视图和投影是教材新增加的内容，第一个学段要求学生根据具体事物的照片或直观图，辨认从不同角度观察到的简单物体的形状，第二个学段要求学生能從不同方向来观察物体，知道从不同方向看到的物体形状图实际上是一个平面图，即从水平方向对物体所做的一个投影。
根据学生的实际来发展空间观念，既包括从学生熟悉的事物入手，又包括对学生巧妙的帮助。
如图10，从不同的方向观察物体，辨认从正面、侧面和上面观察得到的简单物体的形状。
如图11，找出李明、王宇、刘欣、赵爽对应看到的图像。
这一活动涉及学生的空间想象能力和对几何图形的记忆，这是发展学生空间观念的重要方式。教学时一般采用立体图形作为观察对象，以避免非数学的信息给学生的表达交流带来不必要的障碍。教学中发现，学生正面观察没有太大问题，从侧面观察物体出现的问题比较多。这是因为教学时给学生观察的物体都比较小，学生又不明白怎样正对着一个面去观察，结果一观察就看到三个面，所以影响了学生的判断。
通过从不同角度观察茶壶，体会从不同的方向看同一物体，看到的结果可能不完全相同。这与学生的生活经验是一致的。结合调查结果分析：学生虽然没有系统地学习过观察物体的方法，但生活经验使他们已具有初步的观察能力，但从侧面观察能力较低，选择从侧面观察会看到茶壶的图片时，易产生困扰。
解决上述问题有以下策略。
第一，指导基本观察方法，实现观察有效性
到底要让学生看什么、怎样看，往往是教师忽略的问题，其实，这正是学生观察失败的根本原因。因此，要将掌握基本的观察方法当作首要要求达到的学习目标，在学生学习过程中教师必须对学生的观察方法进行细致指导。如，在侧面观察物体时，学生往往不能有效地抓住物体的主要特征，此时可引导他们经历“先猜想，先有目的地观察，再回想”。首先猜想从侧面看到的茶壶是什么样子的，一些部位的相对位置是什么样子，比如茶壶把在茶壶的哪边；然后实际进行观察；整体观察后，再一个一个具体分析各部分的相对位置，并与刚才的猜想对比；最后闭上眼睛，回想观察到的物体的样子。我们在进行教学设计时，不仅要设计知识技能，还要重点培养学生“看不见、摸不着、想得到”的能力。
另外，观察物体一般宜从观察大的物体入手，观察时要求眼睛与观察物体保持同一高度。在学生积累一定的观察经验后，再指导学生去观察小的物体。
第二，循序渐进螺旋提升，避免观察形式化
在进行教学活动预设时，易采用递进式活动安排，引导学生逐步拓宽活动内容。
第一步，首先从正面观察，看到了什么？找出相对应的图片。轮换座位后再次观察，从正面看，茶壶的样子是否发生了变化？再次找到对应的图片。第三次轮换座位后，从左面观察，看到茶壶的什么？找出从左面观察得到的图片，随即请左面的同学帮助判读。第四次轮换座位后，分别从正面、后面、左面、右面观察，看到的茶壶有什么不同？找出相对应的茶壶图（如图11），分别请小组同学判断。这样设计可以及时地帮助学生纠正观察中出现的问题，同时使学生感受到，自己在左侧观察到的茶壶也就是左侧同学观察到的茶壶。
由于一组4名学生所看到的茶壶各不相同，学生之间判断所选图片是否正确存在一些困难，小组的交流和评价就出现了问题。教学中，可采用同号互评的评价方式进行评价。小组4名同学分别为1、2、3、4号，全班12个小组，同方向观察的学生编号也相同，摆放茶壶时要求放置方向一致。在交流观察所看到的茶壶时，由同号学生判断。这样设计在进行观察角色的转换中，学生的空间观念也将得到发展。
在教学中，教师要切实了解学生的实际困难和需要，给予具体的指导和帮助，培养学生的观察、想象和表达能力，切实发展学生的空间观念。
（责编 金 铃）
[关键词]图形几何 导引策略 思维困扰
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）11-023
在“几何与图形”的教学中，教师应帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力，但很大一部分学生在学习中存在思维混乱、混淆等情况，导致学习“几何与图形”成为难点。为此，我尝试分析“几何与图形”教学中学生思维混乱的成因，对“几何与图形”学习中典型的学生困惑进行了引导策略探究，从而培养学生的空间观念和几何直观能力，切实发展学生的数学素养。
一、关注学科知识系统，整体感知有效建构
小学生具有直观想象为主的特点，他们需要借助视觉、听觉、触觉等感官来认知几何图形。因此，教师要引导学生通过看、摸、做等来把握几何图形的特征，从而使他们对几何图形产生稳定、清晰的空间观念。比如，三角形的高是指三角形的顶点到它对边的距离，这样的定义相对抽象，学生难以理解。在教学时，教师可让学生感知生活中各种高的存在形式，并且出示不同的三角形物品，让学生画它们的高，从而使学生对三角形的高有较为全面而深刻的认识。
【例1】“三角形的高”的教学片断
1.复习引入
（1）过A、B两点画一条直线；
（2）從直线AB外一点C，画出点C到直线AB的距离；
提问：从直线AB外一点C到直线AB的距离，是怎么画的？
（由C点向直线AB画垂直的线段，就是C点到直线AB的距离，并板书“垂直线段”）
（3）过直线外一点C画直线AB的平行线；
（4）在直线AB的平行线上任取两点，画出它们到直线AB的距离。
提问：在直线AB的平行线上任取两点，它到直线AB的距离如何，为什么？
（长度相同，因为平行线间距离处处相等）
2.引入课题
提问：如果用直的线连接AC、BC、AB，那么AC、BC、AB间的部分叫什么？连接后就形成了什么图形？（线段AC、BC、AB；连接后形成一个三角形。）
三角形高的画法：
（1）反思三角形高的形成
指着黑板中三角形ABC内的一条线段（即点C到直线AB的距离），问：该线段是怎么画出来的？
点C到AB边的距离，就是三角形ABC底边AB上的高。
课的开始，复习点到直线的距离、平行线间的距离、线段及线段与直线的关系等都是本节课新知识的生长点，其中点到直线的距离——点到线段的距离——点到三角形边的距离的揭示过程，让学生经历三角形的高的画法的形成过程（即过程目标），让数学知识构成网状结构，有利于学生对知识的整体感知和有效建构。
二、把握概念本质内涵，学会主动建模
学会数学思维首要的是先学会数学抽象，数学概念作为数学抽象的产物，其反映的是一类事物或现象在量的方面的共同性质。在学生获得大量感知的基础上，教师还要让学生深刻领会概念的本质意义，准确地把握概念的内涵和外延，参与概念建构的过程。教师要引导学生运用逻辑思维方法全面、深入地思考问题，探究问题的实质，以便科学、简便地解决问题。
【例2】“三角形的概念”的教学片断
师：请同学们根据在生活中观察到的三角形与看到老师刚才画三角形的过程，来说一说下列图形是不是三角形，并说出理由。
（1）出示图6
学生一致认为不是三角形。理由是三角形的三条边应是直的线段，但在这个图形中有一条边是弯曲的。
师：同学们认为三角形是由三条线段围成的图形。（板书：三条线段围成的图形）
（2）出示图7
学生集体认为该图形不是三角形，理由是三条线段头尾没有连接在一起。
师完整说出三角形的概念：三条线段头尾相连围成的图形。（板书：头尾相连）
（3）出示图8
学生判断是三角形，理由是该图符合三角形的概念特征。
（4）出示图9
学生判定不是三角形。
师：“谁能想办法把它变成三角形吗？”
生：“缩短或延长其中一条线段，让三条线段头尾相连就可以了。”
数学学习是学生主动建构数学化的一个过程。学生虽然不能完整描述三角形的概念，但是三角形的模型在他们的脑海中还是有一定印象的。此时教师关键在于如何引导学生让其对三角形的模糊认识提升到一个比较清晰的表象。因此，该环节当中利用三次辨析来让学生不断完善三角形的概念，使之在脑子中形成深刻的表象，这是一个比较典型的数学建模过程，充分尊重了学生的已有经验。在小学数学教学中，教师应特别注意以下两点：第一，数学抽象源于现实及人们的运作；第二，数学抽象又高于现实，它是一种建构的活动。
三、同化顺应改造提升，实现数学知识数学化
数学教学应该生活化、活动化，数学应回归生活是新课程实施的要求之一，但仅仅用“回归”是难以概括生活与数学的关系的。生活中获得的各种经历、体验不一定能为抽象的数学概念提供适宜的基础，甚至还会被各种因素所干扰。“生活数学”与“学校数学”之间有着本质区别。正如皮亚杰所说，在此所发生的并不只是所谓的“同化”，而是如何将新的材料纳入主体已有的认知结构之中，从而使之获得一定的意义，而主要是一个“顺应”的过程，即如何对主体已有的认知结构做出必要的调整或重建。 【例3】“三角形的稳定性”的教学片断
生1：“我发现有的三角形没有稳定性！”
师：“是吗？那就让我们来体验一下三角形的稳定性吧。请同桌之间相互拉一拉三角形的木架来进行感知。”
突然一位学生拿着三根小棒钉成的三角形木架叫道：“我发现有的三角形没有稳定性！”
学生手上的木架是三角形的，三角形具有稳定性，但学生手上的三角形木架却不稳定，为什么呢？
带着思考和疑问，我请教了经验丰富的教师，并查阅了大量的资料后，发现造成以上现象大致原因有二：一是将几何中“三角形”图形与生活中的“三角形”物体混为一谈；二是将生活中的“稳固”与三角形的“稳定性”混为一谈。
为解决上述学生的认知误区，我让学生在生活图片中感悟稳定性，在操作中初步体验三角形的稳定性，并在思考中领悟稳定性的本质含义。
数学教学应该与学生的生活经验对接，但在活动化、生活化的同时，数学应与生活经验建立联系，但在“生活化”“活动化”的过程中，教师要唤醒学生与数学本质相通的生活体验和知识，适时对学生的经验进行重组、改造和提升，以防止数学内涵的流失。数学教学的活动化、生活化的最终归宿是学生对数学知识的数学化。
四、克服实际困难，切实发展空间观念
视图和投影是教材新增加的内容，第一个学段要求学生根据具体事物的照片或直观图，辨认从不同角度观察到的简单物体的形状，第二个学段要求学生能從不同方向来观察物体，知道从不同方向看到的物体形状图实际上是一个平面图，即从水平方向对物体所做的一个投影。
根据学生的实际来发展空间观念，既包括从学生熟悉的事物入手，又包括对学生巧妙的帮助。
如图10，从不同的方向观察物体，辨认从正面、侧面和上面观察得到的简单物体的形状。
如图11，找出李明、王宇、刘欣、赵爽对应看到的图像。
这一活动涉及学生的空间想象能力和对几何图形的记忆，这是发展学生空间观念的重要方式。教学时一般采用立体图形作为观察对象，以避免非数学的信息给学生的表达交流带来不必要的障碍。教学中发现，学生正面观察没有太大问题，从侧面观察物体出现的问题比较多。这是因为教学时给学生观察的物体都比较小，学生又不明白怎样正对着一个面去观察，结果一观察就看到三个面，所以影响了学生的判断。
通过从不同角度观察茶壶，体会从不同的方向看同一物体，看到的结果可能不完全相同。这与学生的生活经验是一致的。结合调查结果分析：学生虽然没有系统地学习过观察物体的方法，但生活经验使他们已具有初步的观察能力，但从侧面观察能力较低，选择从侧面观察会看到茶壶的图片时，易产生困扰。
解决上述问题有以下策略。
第一，指导基本观察方法，实现观察有效性
到底要让学生看什么、怎样看，往往是教师忽略的问题，其实，这正是学生观察失败的根本原因。因此，要将掌握基本的观察方法当作首要要求达到的学习目标，在学生学习过程中教师必须对学生的观察方法进行细致指导。如，在侧面观察物体时，学生往往不能有效地抓住物体的主要特征，此时可引导他们经历“先猜想，先有目的地观察，再回想”。首先猜想从侧面看到的茶壶是什么样子的，一些部位的相对位置是什么样子，比如茶壶把在茶壶的哪边；然后实际进行观察；整体观察后，再一个一个具体分析各部分的相对位置，并与刚才的猜想对比；最后闭上眼睛，回想观察到的物体的样子。我们在进行教学设计时，不仅要设计知识技能，还要重点培养学生“看不见、摸不着、想得到”的能力。
另外，观察物体一般宜从观察大的物体入手，观察时要求眼睛与观察物体保持同一高度。在学生积累一定的观察经验后，再指导学生去观察小的物体。
第二，循序渐进螺旋提升，避免观察形式化
在进行教学活动预设时，易采用递进式活动安排，引导学生逐步拓宽活动内容。
第一步，首先从正面观察，看到了什么？找出相对应的图片。轮换座位后再次观察，从正面看，茶壶的样子是否发生了变化？再次找到对应的图片。第三次轮换座位后，从左面观察，看到茶壶的什么？找出从左面观察得到的图片，随即请左面的同学帮助判读。第四次轮换座位后，分别从正面、后面、左面、右面观察，看到的茶壶有什么不同？找出相对应的茶壶图（如图11），分别请小组同学判断。这样设计可以及时地帮助学生纠正观察中出现的问题，同时使学生感受到，自己在左侧观察到的茶壶也就是左侧同学观察到的茶壶。
由于一组4名学生所看到的茶壶各不相同，学生之间判断所选图片是否正确存在一些困难，小组的交流和评价就出现了问题。教学中，可采用同号互评的评价方式进行评价。小组4名同学分别为1、2、3、4号，全班12个小组，同方向观察的学生编号也相同，摆放茶壶时要求放置方向一致。在交流观察所看到的茶壶时，由同号学生判断。这样设计在进行观察角色的转换中，学生的空间观念也将得到发展。
在教学中，教师要切实了解学生的实际困难和需要，给予具体的指导和帮助，培养学生的观察、想象和表达能力，切实发展学生的空间观念。
（责编 金 铃）