一道含参不等式恒成立问题求解探究

来源 :数学学习与研究 | 被引量 : 0次 | 上传用户:qween
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  【摘要】含参不等式恒成立问题是一类综合性考题,它将函数、方程、不等式、导数这些知识点有效结合,使此类问题变化多端、具有极强的思辨性.鉴于上述特点,此类题型已经成为高考的“必考题”,且往往作为大题的形式出现.本文通过对一道含参不等式恒成立问题进行深入探究,帮助学生规避求解误区,实现有效解题.
  【关键词】含参不等式;恒成立;解题策略
  学生受到长期解题套路灌输的影响,拿到含参不等式恒成立问题的第一想法就是求导.命题者也是看到了学生们的思维误区,在高考命题时偏向于设计超越函数,在多次求导后依然无法有效求解.对此,我将从一道高考题的变式入手,对其中的求导思路进行分析,提出解决此类题型的有效策略.
  对于本变式而言,解题关键在于函数g(x)=xlnx px2-p的处理上.学生1、2的求解过程,他们采用的是常规含参不等式恒成立问题的求解策略,即采用求导的方式.从解题技巧上,这样的处理并不存在问题.但是在求导分析后,一次次地出现了超越函数.此時,学生们就应该揣摩出题者的意图,可能这里并不是考查学生对求导技巧的使用.就如有效求解策略所示,本题采用的是分类讨论的方法.
  总之,含参不等式恒成立问题是一类重要的考点,且极具难度和挑战性.值得注意的是,当常规求导难以使用时,不妨尝试返璞归真,利用最基础的数学分析手段,结合分类讨论、常规分析的思路,对解题过程进行重新的审视.
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