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【摘 要】不同的复习阶段教学节奏不同，教学侧重点也不同。高三数学复习是学生查漏补缺、完善知识结构、提高问题分析与解决能力、发展数学核心素养的关键阶段。研究者以一节“利用奇偶分类讨论解决一类数列问题”的微专题复习课为例，针对如何整合知识以促进知识结构化、如何归纳方法以促进方法模式化、如何提炼思想以促进思维理性化等问题进行教学设计和反思，从而提高学生数学复习效益。
【关键词】整合知识;归纳方法;提炼思想;数列
【作者简介】周龙虎，一级教师，华中师范大学数学与统计学学院在读博士，新青年数学教师工作室成员，主要从事数学教育研究;刘师妤，一级教师，华中师范大学教育学院在读博士，主要从事中学数学教育研究。
【基金项目】2019年度教育部人文社会科学研究规划基金项目——中小学核心素养测评的模型建构与实证研究（19YJA880012）
一、引言
笔者曾在一个数学教研活动上，听了一位教师上的一节“利用奇偶分类讨论解决一类数列问题”的微专题课，该节课的特点如下：问题精，既有教材及教辅书上的优质问题选编，又有授课教师精心编制的原创题;容量大，课堂教学试图通过探究8个难度都不小的例题完成知识的梳理，没有凸显重点知识及难点知识;进度快，教学侧重习题的巩固练习，忽视方法的归纳与思想的挖掘;深度浅，教学以题论题，不能对学生的疑惑做出积极回应。纵观这节课的内容，不禁引发笔者一些思考和反思。
高三数学复习是学生查漏补缺、完善知识结构、提高问题分析与解决能力、发展数学核心素养的关键阶段。有效的复习课应注重学生的认知现状和学习需求，能够引导学生自主进入学习进程中，并通过问题研究获得成就感。有关研究表明，中学生的思维水平呈现出参差不齐的发展态势，为满足他们不同的发展要求，教师必须明确学生思维水平所处的阶段并努力使之向上迁移。有效复习的要义是在重复中建构对知识的新理解，以实现学习的进阶。美国国家研究理事会（NRC）认为，学习进阶是对学生连贯且逐渐深入的思维方式的描述。在较大时间跨度内（如6～8年）学生学习和研究某一主题时，这些思维方式依次进阶。学习进阶不只是解决学习者认知发展路径的问题，还是学习者解决认知发展过程中用以“踏脚”的具体“脚踏点”。下文以“利用奇偶分类讨论解决一类数列问题”教学为例，对微专题复习课进行研究。
二、微专题复习课的设计与反思
教育家叶澜曾说：“一个教师写一辈子教案不一定成为名师，但如果一个教师写三年反思则有可能成为名师。”[1]教学见地与教育理念的形成离不开反思，只有不断地反思、自觉地反思，课堂才能呈现无限可能性。笔者从多维视角对“利用奇偶分类讨论解决一类数列问题”进行教学设计与反思。
（一）知识结构化：整合的视角
实践表明，忽视学科结构、弱化学科知识联系的复习是难以取得好的教学效果的。知识板块之间相互割裂而形成的无序状态（即“知识孤岛”）是无法产生价值的。建构主义学习理论指出，经由“建构—解构—重构”动态转化的思维过程得出的知识最具价值。奥苏贝尔提出有意义的学习有两条标准：一是建立实质性联系，其含义为新的符号或符号代表的观念与学习者认知结构中的观念完全等值，即可用等值的语言，不同的话表达，其关系不变;二是新旧知识的非人为（非任意）的联系，即这种关系是一种合理的、别人可以理解的而非人们主观强加的关系。联系是知识的衍生状态，使知识富有生命力。若将知识划分为静态或动态，静态的知识经整合显得精而少，动态的知识经整合显得逻辑清晰、有序。整合是整体教学观的生动实践，使知识与知识之间、知识与现实世界之间产生链接。注重知识的横向链接（获得知识的逻辑联结和顺应发展）和纵向链接（洞悉知识的来龙去脉和前因后果），才有利于学生形成正确的知识观，以养成科学的思维方式。整合数学史与中学数学内容，能通过知识的“前世今生”让学生亲历连贯的思维发展过程，体会数学独有的文化价值。教师在教学中于恰当的问题情境里引入数学史料，还能制造认知冲突，再现知识，以体现研究的必要性。
本节课研究的问题有两个，即求通项公式与求和问题，两者都涉及项数问题。对于等差数列前n项和公式的推导方法，数学人教版A版（以下简称教材）的做法是从少年高斯关于“1+2+…+100=？”的故事出发，并加以推导改进而得，从而避免了对项数的奇偶进行分类讨论。教师以此引入课题，体现出研究数列项数奇偶性的必要性。
高考复习要以问题为承载。如章建跃博士所说，选择符合主题或教学目标的“问题集”，并把问题组织成具有内在逻辑关联、由简到繁、由单一到综合的问题序列，既符合学生的认知发展规律，也能通过解题培养学生从概念与性质的角度思考和解决问题的习惯[2]。复习的意义在于彰显过程性，能力的提升有个过程，知识从单一到综合也有一个过程。教师选择的题目既要“接地气”（能培养能力、对接高考）又要出彩，研究的问题要有价值、有意义，能体现一般的观念和数学思想方法，并有一般的处理策略，这需要教师对教材进行深入的分析和研究。在课堂教学中，教师可呈现以下两道习题。
习题1（教材必修5第46页）：已知数列an是等差数列，Sn是其前n项的和，求证S6，S12-S6，S18-S12也成等差数列。
习题2（教材必修5第62页）：已知等比数列an的前n项和为Sn，求證S7，S14-S7，S21-S14也成等比数列。
学生思索之余，能进一步体会类比推理的魅力。在习题1和习题2中的两个命题由特殊推广到一般的过程中，学生会发现前者总成立，而后者不一定成立，要使得Skn-S（k-1）n≠0，需讨论n的奇偶。
实际上，数列按照单调性划分，可分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列，其中摆动数列的性质就是一个很重要的研究内容。高考对摆动数列的考查常涉及三个方面的问题：一是对项数的讨论，便于准确求和;二是数列求通项公式、分段通项公式与递推关系的转化;三是对数列中奇（偶）数项的单调性、有界性的讨论。如2014年重庆高考数学理科卷第22题。 例题 设a1=1，an+1=a2n-2an+2+b（nN*）。
（1）若b=1，求a2，a3及数列an的通项公式;
（2）若b=-1，问：是否存在实数c，使得a2n 因此，通过对该微专题所属主题的整合，数列中的典型问题按照一定的逻辑被有机地整合在一起，知识以整体性得以呈现，有利于学生整体掌握数学对象在知识体系中的地位与作用，深层次理解数学对象的内涵与外延，发展多渠道、多角度分析和解决问题的能力。
（二）方法模式化：归纳的视角
现代数学家普遍认为，数学是一门研究模式的科学。通过对现实世界空间形式与数量关系的研究，在体会数学的基本模式的同时，也形成自我数学视角的模式化（如归纳与演绎）。笔者在教学中发现，不少学生仅仅将归纳法与演绎法视为解决某些特殊问题的策略，如利用数学归纳法证明与正整数n有关的命题等，却很少用于数学方法的发现及创新。因此，教师应通过对数学概念、公式、定理的教学，使学生掌握数学方法。数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法，即用数学语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运算与分析，形成解释、判断和预言的方法。数学方法具有高度的抽象性、概括性，逻辑的严密性、结论的确定性、应用的普遍性和可操作性。归纳方法一般有三种策略：（1）通过问题比较，归纳共性的解决办法;（2）通过数学模型运用，拓宽模型的适用范围，突出方法的一般性;（3）通过典型例题的挖掘与分析，在变式与推广中抽象方法。需要注意的是，归纳是一种“慢教育”，慢是真实的，慢能出高效益。因此，在教学中教师不应急于求成。
递归数列通项的求解一直是数列的核心问题。处理这类问题一般的方法是往前或往后递推一项，构建方程组，消项整理得之。一般地，要做两次甚至多次递推才能得到相间项的关系式，如an+2-an=4。为了让学生形成准确的模式辨认，递推关系中含有相间项（如an+2与an）的情形一般需要分奇偶讨论。在教学中，教师可通过三道变式题对学生进行引导。
变式题1 数列an满足a1=3，an+1+an=2n+5，求an的通项公式。
变式题2 已知数列an的前n项和为Sn，Sn=（-1）nan-12n，求S1+S2+S3+…+S100的值。
变式题3 已知数列an满足an+1+（-1）nan=n，则数列an的前4n项的和为。
经过研究发现，对项数n的奇偶讨论并非是解决上述问题最合理、最简洁、最常用的做法，但却是最能反映三个问题共性特征的最普遍的做法。其中，变式题1难以自然联想到分奇偶讨论的做法;变式题2即使需要讨论，也要对讨论作先后分析;而变式题3则需要进行多次讨论（分组求和的需要）。教师为学生呈现不同类型的题目，让学生通过观察、比较、分析、综合、联想等一系列数学活动理解问题的实质，进而归纳出新的方法，并形成典型问题与解决方法的自然联结，这有助于学生数学基本活动经验的积累与完善。由于归纳逻辑存在或然性，因而还需要更为严谨的演绎，即对方法的普适性和有效性的重新审视与反思。从这个意义上说，方法的归纳为推理思维的培养奠定了进阶的基础。
（三）思维理性化：提炼的视角
数学思想是数学方法的凝练，是对数学规律的理性认识，是数学的灵魂。渗透与提炼数学思想方法要讲究循序渐进原则，要经历思想更替的过程[3]。在教学中，教师要引导学生有意识地提炼函数思想，使学生领悟蕴含于知识中的数学思想方法，这对培养学生的数学能力，优化数学思维品质，具有十分重要的意义。本节课研究的主要对象是数列，由于数列的本质是函数，因此，首先需要提炼思想方法。其次，对于数列中某些特殊的递推关系，我们都可以依据其问题表征形式概括提炼出典型特征，从而建立模型。数列所研究的两类问题，即求通项与求和问题，是对现实问题的概括与抽象。运算是逻辑推理的具体手段，算法思想也是需要提炼的重要思想方法。
1.从结构上思关联：函数本质，引领研究
强化数列定义中的函数观点是数列教学的共识。但从学习效果来看，无论是新课还是复习课的学习，学生自觉用函数思想来理解数列中的问题的意识仍比较淡薄，究其原因大致有两个。一是关联程度不够高。学习理论认为，新的学习必须要与个体已有认知结构中的旧经验取得关联才是有意义的学习。取得关联不仅局限于以教师的视角对函数与数列的定义做概括性的总结与类比，而是要站在学生的角度作必要的关联分析，如对比与分析。性质是定义的再演绎与应用，理解数学概念间的一致性与相异性不一定仅在概念上做文章，对性质进行的对比与分析同样会促进这一理解。研究数列，就要研究数列的表示方法（如列表法、图像法、通项公式或递推公式）、数列的性质（单调性、周期性与有界性等），这些都属于函数性质。数列之所以称为特殊的函数，就在于数列不具备对称性与连续性。因此，均衡把握数列与函数的“同”与“异”才是强化数列定义中的函数观点的真正要义。二是本质未优先于形式。数学本质是数学概念、公式、定理背后蕴涵着的重要数学思想方法以及数学特有的思维方式，其以本质思维（指通过不断追问、从不同侧面看问题）对问题进行抽象与综合。在一般思维层次的问题解决过程中，形式是思维的起点，问题解决是思维的终点。而在高阶思维下问题解决的过程中，由形式直接过渡到对本质的洞察能简缩问题解决的长度。因此，本质优先是已有数学经验的直接利用，是我們理应所追求的思维逻辑顺序。
2.从基本点作变式：构建模型，贯通始终
问题串的课堂教学方式之所以备受教师青睐，是因为问题驱动下的教学启而有发，能体现教学内容的层次感、思维的连贯性与一致性。等差数列和等比数列是特殊数列模型，那么摆动数列呢？首先，教师向学生提出思考问题：数列的通项形如“（-1）nan”，其中an为等差数列或者等比数列，如何求和？该问题模型构建后，学生对含有（-1）n的数列递推关系式的理解就会更深刻，也巩固了分组求和的做法。其次是对模型的运用与理解。裂项相消法是解决特殊摆动数列求和问题的利器，教师可设置以下例题，从而巧妙地诠释（-1）n并项相消的功能。 例题 已知数列an的通项公式为an=2n-1，令bn=（-1）n-14nanan+1，求数列bn的前n项和Tn。
要探讨形如“（-1）nan”这类数列的性质，求其前n项和的最大（最小）值（项）应是第二个思考的问题。分析“（-1）nan”这类数列（其中an为等差数列或者等比数列）的性质，学生不难理解相间项（如an+2与an）的关系，因此两种形式的递推关系实质上是一种情形，需要分奇偶讨论，这是模型的概括、转化功能。
利用数学模型原型作为教学资源，启发学生建立数学模型解决问题，就是我们常说的数学模型思想。数学模型思想是利用数学语言（包括符号、图形、公式） 模拟现实问题，把问题原型进行抽象、概括、假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构是完全形式化和符号化的模型，从而指导数学问题的研究和解决的一种演绎思想。如对勾函数模型、立体几何中的正方体模型、四面都是直角三角形的三棱锥模型等。数学模型原型虽作为一种很好的介入方式，但能否顺应新问题的建模及解模，是值得教师思考的问题。
3.从细节处精雕琢：明晰算理，优化算法
数列中求通项公式及求和问题实质上是数列中“算”的问题，因此对于其中蕴藏的算理、算法的选择与实施显得尤为重要。算理就是计算过程中的道理，是计算过程中的思维方式，解决的是为什么这样算的问题。如求数列的通项，是寻求每一项关于项数n的函数解析式，可以分情况演算（常作奇偶讨论），也可以利用组成成分an= Sn-Sn-1，n≥2，S1，n=1 演算，这是算理。求数列的前n项和，是转化为特殊数列用公式求，还是在满足加法运算规律下一個个累加求、分组求，这同样也是算理。因此，教师在教学中既要做到应用算理，创新方法，又要做到明晰算理，优化算法。分奇偶讨论中对奇数和对偶数情形的研究是一样的，因而可以利用奇偶数的可转化性（偶数±1=奇数）简化运算。在讨论两种情形的先后顺序的算法选择上，也是可以优化的。值得一提的是，不少学生在讨论时容易忽视递推式的前提，如“当n是奇数时”，不妨实行语义转化，将递推关系“Sn=（-1）nan-12n”改写成“S2n-1=-a2n-1-122n-1（n≥2）”，从规避常见错误的层面考量，这实质上也属于算法上的改造与优化。此外，算理往往是在多次具体演绎算法中得到的，如对程序框图中的运算语句的功能的分析，这是具体化的探究思路的体现。
综上可知，在高三数学复习中，教师应结合学生的新课体验，注重经验的再利用，在知识整合上做足功夫;应在关注通性通法的基础上引导学生作选择与比较，以培养学生优化简化、归纳整理问题的意识;应透过现象回归数学本质，让数学思想的种子萌芽并扎根，为学生的学习进阶打下坚实的基础。
参考文献：
[1]叶澜.教育概论[M].北京：人民教育出版社，1999.
[2]章建跃.如何设计三次函数的高考复习[J].中小学数学（高中版），2016（1/2）：封底.
[3]周龙虎.对习题讲解过程中渗透数学思想与方法的思考[J].中学数学，2015（21）：52-54.
（责任编辑：陆顺演）
【关键词】整合知识;归纳方法;提炼思想;数列
【作者简介】周龙虎，一级教师，华中师范大学数学与统计学学院在读博士，新青年数学教师工作室成员，主要从事数学教育研究;刘师妤，一级教师，华中师范大学教育学院在读博士，主要从事中学数学教育研究。
【基金项目】2019年度教育部人文社会科学研究规划基金项目——中小学核心素养测评的模型建构与实证研究（19YJA880012）
一、引言
笔者曾在一个数学教研活动上，听了一位教师上的一节“利用奇偶分类讨论解决一类数列问题”的微专题课，该节课的特点如下：问题精，既有教材及教辅书上的优质问题选编，又有授课教师精心编制的原创题;容量大，课堂教学试图通过探究8个难度都不小的例题完成知识的梳理，没有凸显重点知识及难点知识;进度快，教学侧重习题的巩固练习，忽视方法的归纳与思想的挖掘;深度浅，教学以题论题，不能对学生的疑惑做出积极回应。纵观这节课的内容，不禁引发笔者一些思考和反思。
高三数学复习是学生查漏补缺、完善知识结构、提高问题分析与解决能力、发展数学核心素养的关键阶段。有效的复习课应注重学生的认知现状和学习需求，能够引导学生自主进入学习进程中，并通过问题研究获得成就感。有关研究表明，中学生的思维水平呈现出参差不齐的发展态势，为满足他们不同的发展要求，教师必须明确学生思维水平所处的阶段并努力使之向上迁移。有效复习的要义是在重复中建构对知识的新理解，以实现学习的进阶。美国国家研究理事会（NRC）认为，学习进阶是对学生连贯且逐渐深入的思维方式的描述。在较大时间跨度内（如6～8年）学生学习和研究某一主题时，这些思维方式依次进阶。学习进阶不只是解决学习者认知发展路径的问题，还是学习者解决认知发展过程中用以“踏脚”的具体“脚踏点”。下文以“利用奇偶分类讨论解决一类数列问题”教学为例，对微专题复习课进行研究。
二、微专题复习课的设计与反思
教育家叶澜曾说：“一个教师写一辈子教案不一定成为名师，但如果一个教师写三年反思则有可能成为名师。”[1]教学见地与教育理念的形成离不开反思，只有不断地反思、自觉地反思，课堂才能呈现无限可能性。笔者从多维视角对“利用奇偶分类讨论解决一类数列问题”进行教学设计与反思。
（一）知识结构化：整合的视角
实践表明，忽视学科结构、弱化学科知识联系的复习是难以取得好的教学效果的。知识板块之间相互割裂而形成的无序状态（即“知识孤岛”）是无法产生价值的。建构主义学习理论指出，经由“建构—解构—重构”动态转化的思维过程得出的知识最具价值。奥苏贝尔提出有意义的学习有两条标准：一是建立实质性联系，其含义为新的符号或符号代表的观念与学习者认知结构中的观念完全等值，即可用等值的语言，不同的话表达，其关系不变;二是新旧知识的非人为（非任意）的联系，即这种关系是一种合理的、别人可以理解的而非人们主观强加的关系。联系是知识的衍生状态，使知识富有生命力。若将知识划分为静态或动态，静态的知识经整合显得精而少，动态的知识经整合显得逻辑清晰、有序。整合是整体教学观的生动实践，使知识与知识之间、知识与现实世界之间产生链接。注重知识的横向链接（获得知识的逻辑联结和顺应发展）和纵向链接（洞悉知识的来龙去脉和前因后果），才有利于学生形成正确的知识观，以养成科学的思维方式。整合数学史与中学数学内容，能通过知识的“前世今生”让学生亲历连贯的思维发展过程，体会数学独有的文化价值。教师在教学中于恰当的问题情境里引入数学史料，还能制造认知冲突，再现知识，以体现研究的必要性。
本节课研究的问题有两个，即求通项公式与求和问题，两者都涉及项数问题。对于等差数列前n项和公式的推导方法，数学人教版A版（以下简称教材）的做法是从少年高斯关于“1+2+…+100=？”的故事出发，并加以推导改进而得，从而避免了对项数的奇偶进行分类讨论。教师以此引入课题，体现出研究数列项数奇偶性的必要性。
高考复习要以问题为承载。如章建跃博士所说，选择符合主题或教学目标的“问题集”，并把问题组织成具有内在逻辑关联、由简到繁、由单一到综合的问题序列，既符合学生的认知发展规律，也能通过解题培养学生从概念与性质的角度思考和解决问题的习惯[2]。复习的意义在于彰显过程性，能力的提升有个过程，知识从单一到综合也有一个过程。教师选择的题目既要“接地气”（能培养能力、对接高考）又要出彩，研究的问题要有价值、有意义，能体现一般的观念和数学思想方法，并有一般的处理策略，这需要教师对教材进行深入的分析和研究。在课堂教学中，教师可呈现以下两道习题。
习题1（教材必修5第46页）：已知数列an是等差数列，Sn是其前n项的和，求证S6，S12-S6，S18-S12也成等差数列。
习题2（教材必修5第62页）：已知等比数列an的前n项和为Sn，求證S7，S14-S7，S21-S14也成等比数列。
学生思索之余，能进一步体会类比推理的魅力。在习题1和习题2中的两个命题由特殊推广到一般的过程中，学生会发现前者总成立，而后者不一定成立，要使得Skn-S（k-1）n≠0，需讨论n的奇偶。
实际上，数列按照单调性划分，可分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列，其中摆动数列的性质就是一个很重要的研究内容。高考对摆动数列的考查常涉及三个方面的问题：一是对项数的讨论，便于准确求和;二是数列求通项公式、分段通项公式与递推关系的转化;三是对数列中奇（偶）数项的单调性、有界性的讨论。如2014年重庆高考数学理科卷第22题。 例题 设a1=1，an+1=a2n-2an+2+b（nN*）。
（1）若b=1，求a2，a3及数列an的通项公式;
（2）若b=-1，问：是否存在实数c，使得a2n
（二）方法模式化：归纳的视角
现代数学家普遍认为，数学是一门研究模式的科学。通过对现实世界空间形式与数量关系的研究，在体会数学的基本模式的同时，也形成自我数学视角的模式化（如归纳与演绎）。笔者在教学中发现，不少学生仅仅将归纳法与演绎法视为解决某些特殊问题的策略，如利用数学归纳法证明与正整数n有关的命题等，却很少用于数学方法的发现及创新。因此，教师应通过对数学概念、公式、定理的教学，使学生掌握数学方法。数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法，即用数学语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运算与分析，形成解释、判断和预言的方法。数学方法具有高度的抽象性、概括性，逻辑的严密性、结论的确定性、应用的普遍性和可操作性。归纳方法一般有三种策略：（1）通过问题比较，归纳共性的解决办法;（2）通过数学模型运用，拓宽模型的适用范围，突出方法的一般性;（3）通过典型例题的挖掘与分析，在变式与推广中抽象方法。需要注意的是，归纳是一种“慢教育”，慢是真实的，慢能出高效益。因此，在教学中教师不应急于求成。
递归数列通项的求解一直是数列的核心问题。处理这类问题一般的方法是往前或往后递推一项，构建方程组，消项整理得之。一般地，要做两次甚至多次递推才能得到相间项的关系式，如an+2-an=4。为了让学生形成准确的模式辨认，递推关系中含有相间项（如an+2与an）的情形一般需要分奇偶讨论。在教学中，教师可通过三道变式题对学生进行引导。
变式题1 数列an满足a1=3，an+1+an=2n+5，求an的通项公式。
变式题2 已知数列an的前n项和为Sn，Sn=（-1）nan-12n，求S1+S2+S3+…+S100的值。
变式题3 已知数列an满足an+1+（-1）nan=n，则数列an的前4n项的和为。
经过研究发现，对项数n的奇偶讨论并非是解决上述问题最合理、最简洁、最常用的做法，但却是最能反映三个问题共性特征的最普遍的做法。其中，变式题1难以自然联想到分奇偶讨论的做法;变式题2即使需要讨论，也要对讨论作先后分析;而变式题3则需要进行多次讨论（分组求和的需要）。教师为学生呈现不同类型的题目，让学生通过观察、比较、分析、综合、联想等一系列数学活动理解问题的实质，进而归纳出新的方法，并形成典型问题与解决方法的自然联结，这有助于学生数学基本活动经验的积累与完善。由于归纳逻辑存在或然性，因而还需要更为严谨的演绎，即对方法的普适性和有效性的重新审视与反思。从这个意义上说，方法的归纳为推理思维的培养奠定了进阶的基础。
（三）思维理性化：提炼的视角
数学思想是数学方法的凝练，是对数学规律的理性认识，是数学的灵魂。渗透与提炼数学思想方法要讲究循序渐进原则，要经历思想更替的过程[3]。在教学中，教师要引导学生有意识地提炼函数思想，使学生领悟蕴含于知识中的数学思想方法，这对培养学生的数学能力，优化数学思维品质，具有十分重要的意义。本节课研究的主要对象是数列，由于数列的本质是函数，因此，首先需要提炼思想方法。其次，对于数列中某些特殊的递推关系，我们都可以依据其问题表征形式概括提炼出典型特征，从而建立模型。数列所研究的两类问题，即求通项与求和问题，是对现实问题的概括与抽象。运算是逻辑推理的具体手段，算法思想也是需要提炼的重要思想方法。
1.从结构上思关联：函数本质，引领研究
强化数列定义中的函数观点是数列教学的共识。但从学习效果来看，无论是新课还是复习课的学习，学生自觉用函数思想来理解数列中的问题的意识仍比较淡薄，究其原因大致有两个。一是关联程度不够高。学习理论认为，新的学习必须要与个体已有认知结构中的旧经验取得关联才是有意义的学习。取得关联不仅局限于以教师的视角对函数与数列的定义做概括性的总结与类比，而是要站在学生的角度作必要的关联分析，如对比与分析。性质是定义的再演绎与应用，理解数学概念间的一致性与相异性不一定仅在概念上做文章，对性质进行的对比与分析同样会促进这一理解。研究数列，就要研究数列的表示方法（如列表法、图像法、通项公式或递推公式）、数列的性质（单调性、周期性与有界性等），这些都属于函数性质。数列之所以称为特殊的函数，就在于数列不具备对称性与连续性。因此，均衡把握数列与函数的“同”与“异”才是强化数列定义中的函数观点的真正要义。二是本质未优先于形式。数学本质是数学概念、公式、定理背后蕴涵着的重要数学思想方法以及数学特有的思维方式，其以本质思维（指通过不断追问、从不同侧面看问题）对问题进行抽象与综合。在一般思维层次的问题解决过程中，形式是思维的起点，问题解决是思维的终点。而在高阶思维下问题解决的过程中，由形式直接过渡到对本质的洞察能简缩问题解决的长度。因此，本质优先是已有数学经验的直接利用，是我們理应所追求的思维逻辑顺序。
2.从基本点作变式：构建模型，贯通始终
问题串的课堂教学方式之所以备受教师青睐，是因为问题驱动下的教学启而有发，能体现教学内容的层次感、思维的连贯性与一致性。等差数列和等比数列是特殊数列模型，那么摆动数列呢？首先，教师向学生提出思考问题：数列的通项形如“（-1）nan”，其中an为等差数列或者等比数列，如何求和？该问题模型构建后，学生对含有（-1）n的数列递推关系式的理解就会更深刻，也巩固了分组求和的做法。其次是对模型的运用与理解。裂项相消法是解决特殊摆动数列求和问题的利器，教师可设置以下例题，从而巧妙地诠释（-1）n并项相消的功能。 例题 已知数列an的通项公式为an=2n-1，令bn=（-1）n-14nanan+1，求数列bn的前n项和Tn。
要探讨形如“（-1）nan”这类数列的性质，求其前n项和的最大（最小）值（项）应是第二个思考的问题。分析“（-1）nan”这类数列（其中an为等差数列或者等比数列）的性质，学生不难理解相间项（如an+2与an）的关系，因此两种形式的递推关系实质上是一种情形，需要分奇偶讨论，这是模型的概括、转化功能。
利用数学模型原型作为教学资源，启发学生建立数学模型解决问题，就是我们常说的数学模型思想。数学模型思想是利用数学语言（包括符号、图形、公式） 模拟现实问题，把问题原型进行抽象、概括、假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构是完全形式化和符号化的模型，从而指导数学问题的研究和解决的一种演绎思想。如对勾函数模型、立体几何中的正方体模型、四面都是直角三角形的三棱锥模型等。数学模型原型虽作为一种很好的介入方式，但能否顺应新问题的建模及解模，是值得教师思考的问题。
3.从细节处精雕琢：明晰算理，优化算法
数列中求通项公式及求和问题实质上是数列中“算”的问题，因此对于其中蕴藏的算理、算法的选择与实施显得尤为重要。算理就是计算过程中的道理，是计算过程中的思维方式，解决的是为什么这样算的问题。如求数列的通项，是寻求每一项关于项数n的函数解析式，可以分情况演算（常作奇偶讨论），也可以利用组成成分an= Sn-Sn-1，n≥2，S1，n=1 演算，这是算理。求数列的前n项和，是转化为特殊数列用公式求，还是在满足加法运算规律下一個个累加求、分组求，这同样也是算理。因此，教师在教学中既要做到应用算理，创新方法，又要做到明晰算理，优化算法。分奇偶讨论中对奇数和对偶数情形的研究是一样的，因而可以利用奇偶数的可转化性（偶数±1=奇数）简化运算。在讨论两种情形的先后顺序的算法选择上，也是可以优化的。值得一提的是，不少学生在讨论时容易忽视递推式的前提，如“当n是奇数时”，不妨实行语义转化，将递推关系“Sn=（-1）nan-12n”改写成“S2n-1=-a2n-1-122n-1（n≥2）”，从规避常见错误的层面考量，这实质上也属于算法上的改造与优化。此外，算理往往是在多次具体演绎算法中得到的，如对程序框图中的运算语句的功能的分析，这是具体化的探究思路的体现。
综上可知，在高三数学复习中，教师应结合学生的新课体验，注重经验的再利用，在知识整合上做足功夫;应在关注通性通法的基础上引导学生作选择与比较，以培养学生优化简化、归纳整理问题的意识;应透过现象回归数学本质，让数学思想的种子萌芽并扎根，为学生的学习进阶打下坚实的基础。
参考文献：
[1]叶澜.教育概论[M].北京：人民教育出版社，1999.
[2]章建跃.如何设计三次函数的高考复习[J].中小学数学（高中版），2016（1/2）：封底.
[3]周龙虎.对习题讲解过程中渗透数学思想与方法的思考[J].中学数学，2015（21）：52-54.
（责任编辑：陆顺演）