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【摘要】 教师基于认知负荷理论及认知负荷效应，利用通道效应，消除注意分离效应，避免冗余效应，恰当使用分离关联元素效应，以“配方法解一元二次方程”的教学课件为例，设计适用于不同类型的一元二次方程的几何方法，以帮助学生理解配方法的过程及长时记忆配方法的内容，为教师的教学设计提供参考。
【关键词】 认知负荷理论；配方法；课件设计
【作者简介】于艺，广西师范大学课程与教学论硕士研究生，研究方向为数学课程与教学论；梁丽芳，广西师范大学课程与教学论硕士研究生，研究方向为数学课程与教学论；周莹（本文通讯作者），广西师范大学数学与统计学院教授，硕士生导师，主要从事数学课程与教学论研究。“配方法解一元二次方程”的几何方法即“割补化方”[1]39。它的出现为教学设计提供了新思路，但在设计中易出现几何图形呈现无过程，或故事背景复杂，抑或思维方法不统一等问题，导致学生的认知负荷加重。认知负荷理论认为，教师通过有效的教学设计，改善学习任务或材料的信息呈现，可以降低学习者所承受的外在认知负荷[2]。笔者以“配方法”教学片段为例，尝试在教学设计中应用认知负荷理论及认知负荷效应，以达到减少外在认知负荷的目的。
一、认知负荷理论
认知负荷理论（cognitive load theory）是基于人类认知结构与外界信息结构交互作用而决定教学设计的理论[3]。认知负荷理论认为，面对既定的认知任务，个体产生的认知负荷主要来自三个方面：一是学习材料的性质，二是学习材料的呈现方式，三是学习者的已有经验。由此，认知负荷可分为内在认知负荷、外在认知负荷和相关认知负荷三类。内在认知负荷源于认知任务本身；外在认知负荷源于不良的教学设计；在建构图式时虽不是必需但投入后有利于图式建构的认知负荷是相关认知负荷。目前已揭示的认知负荷效应有12种，包括通道效应、注意分离效应、冗余效应、分离关联元素效应等。其中，分离关联元素效应以一种分离的方式逐次呈现具有关联性的信息元素，比一次性地呈现所有相关联的元素更能促进学习[4]。陈明璋也认为，在拥有稳固先备知识的基础上，教师逐步引导注意力的设计，让被接收的资讯做更有效的整合[5]。
二、基于认知负荷理论的“配方法”课例设计
（一）课例的基本背景
“配方法”是人教版数学教科书九年级上册“2121配方法”的学习内容，是对一元二次方程的深入认识，对学习“公式法”“因式分解法”等有重要影响。本节课蕴含分类讨论思想（根的个数）、数形结合思想（方程与配方图搭配）。本节课的重点是学生能用配方法解一元二次方程，难点是凑配成完全平方公式的方法与技巧，关键点是几何方法的使用。
（二）“配方法”教学设计过程
1教学内容处理设计
九世纪，阿拉伯数学家花拉子米在《代数学》中給出了解x2+10x=39的两种几何方法[6]，并对两种图形内含负荷量做了简单分析，见表1。从图形个数、一次项系数与添加常数项的关系上看，图2的负荷低于图1，因此选择图2为基本图形设计课件。
图形图1图2图形个数9个4个一次项分解将10x均分成4份将10x均分成2份添加常数项以25为边长的小正方形×4以5为边长的小正方形×1二者关系一次项系数的14的平方的4倍一次项系数的一半的平方以图2为基础设计方程x2+10x=39和方程x2-10x=39的几何方法图形，见表2。方程x2+10x=39的几何图形，见表2中的图3；方程x2-10x=39的几何图形，见表2中的图4。二者图形轮廓高度相似，因此，笔者建议将两种图形进行同步教学，见表2中的图5。
对于图3和图4，我们可以从代数、几何两种角度进行分析。从代数角度看，两个表达式都表示图形面积和，图3中的（x+5）2表示正方形面积等于不规则图形面积（即x2+10x=39）加小正方形面积；图4中的（x-5）2表示正方形面积等于不规则图形面积（即x2-10x=39）加小正方形面积。从几何角度看，二者图形轮廓相似，但我们通过观察发现，图3是在以x为边长的正方形基础上添加图形，这是几何中“补”的方法；图4是在以x为边长的正方形基础上进行的裁剪，这是几何中“割”的方法，不规则图形用同样“补”的方法得到正方形（即“割补法”）。课件展示的两种图形都建立在以x为边长的正方形基础上，故可以拼接起来（如图5），如此加深学生对配方法的整体认知，突出教学课件的沟通性。
2形如x2+10x=39的一元二次方程的几何方法
形如x2+10x=39的一元二次方程的几何方法以“补”为核心思想，在课件上“补”的部分用如图6-e的虚线表示。
第一步：在图形变化前复制一份（如图6-a），拆分出4个“零件”并去掉字母、标记序号备用（如图6-b），其中Ⅰ表示面积为x2的正方形，Ⅱ1、Ⅱ2表示面积为5x的长方形，Ⅲ表示面积为25的正方形。
第二步：取出Ⅰ放于中央，对图形进行步骤化移动，分别将Ⅱ1、Ⅱ2拼接到Ⅰ的右侧和下侧（如图6-c），图6-c代表x2+10x，其面积大小为39。为了避免线条对视觉的干扰，去掉线条边框、隐去序号，标记面积（如图6-d）。再将Ⅲ嵌入图形右下角，用红色虚线标注（如图6-e）。隐去中间边框，重新标记正方形面积及边长x+5（如图6-f）。
第三步：引导学生建立x2+10x、39、25和（x+5）2之间的等量关系，列出等式（如图6-a）。教师示范写出标准的配方法解方程过程，引导学生总结“添加的常数项与一次项系数（正数）”间的关系。
形如x2+10x=39的配方法，是将x2项与边长为x的正方形建立联系，10x项则是将两个长为x、宽为5的长方形，再“补”一个边长为5的小正方形，最终补成正方形的过程。如此设计基于以下几个方面的考虑。其一，利用步骤化呈现方式对图形进行移动，在移动过程中，图6-d、图6-e、图6-f和图6-a中三个代数式意义相同，这样使图形移动和代数展演过程一一对应，以图导文，增强学生对图像的了解。其二，不能在原图中移动图形，因为在原图进行移动的过程中会造成原来图形的变化，学生需要在工作记忆中保存先前呈现信息的表象表征，增加了认知负荷[7]。其三，教师要规范配方法解一元二次方程的过程，使学生从几何理解向代数表达发展。 3形如x2-10x=39 的一元二次方程的几何方法
一次项系数为负数的一元二次方程几何方法以“割补”为核心思想，“割”的部分用虚线表示，“补”的部分用如图7-f的虚线表示。
第一步：同理，图形变形前复制图形（如图7-a），去掉字母，标记序号备用（如图7-b），其中Ⅰ表示面积为x2的正方形，Ⅱ1、Ⅱ2表示面积为5x的长方形，Ⅲ表示面积为25的正方形。
第二步：取出Ⅰ放于中央，对图形进行步骤化移动，从Ⅰ右侧裁剪长为x、宽为5的长方形Ⅱ1（如图7-c），从下方裁剪长为x、宽为5的长方形Ⅱ1，但由于长度不够，需在余下图形中裁减边长为5的正方形Ⅲ（如图7-d），图7-d中实线图形代表x2-10x，其面积大小为39。隐去虚线、序号并标注面积（如图7-e）。将Ⅲ嵌入图形右下角，用如图7-f的虚线标注。隐去中间边框，重新标记正方形面积及其边长x-5（如图7-g）。
第三步：引导学生建立x2-10x、39、25和（x-5）2之间的等量关系，列出等式（如图7-a）。引导学生找出“添加的常数项与一次项系数（负数）”之间的关系，总结异同后，归纳“添加的常数项与一次项系数（实数）之间的关系”，即“添加的常数项等于一次项系数一半的平方”。
【设计意图】
形如x2-10x=39的配方法，是在边长为x的正方形上先后割掉两个面积为5x的长方形，再“补”一个边长为5的小正方形，最终凑成正方形的过程。如此设计是基于以下几个方面的考虑。其一，当方程从x2+10x=39变为x2-10x=39时，引导学生联想“补”的逆过程（即“割”）。其二，同理，利用步骤化呈现方式对图形进行移动，移动过程中图7-e、图7-f、图7-g分别和图7-a中三个代数式意义相同。在“割”的过程中，图7-d的切割尤其需要说明“为什么”以及“怎样做”；在“补”的过程中，学生可以模仿x2+10x=39“补”的过程，做到即学即会。其三，统一“一次项系数为正、负”的两种情况，强调“添加一次项系数一半的平方”，总结配方法解一元二次方程的“移、加、化、解”四个步骤[1] 41。
三、认知负荷理论指导课件设计的体现
（一）优化图形，贯彻几何方法
九年级学生已初步形成数形结合的意识，具备将代数符号语言和几何图形语言相互转化的能力。配方法的几何模型为学生直观理解、长期记忆配方法提供了帮助。但以往的教学设计往往忽视几何方法在方程一次项系数为负数时的应用。因此，在课件制作中，一方面，在面积为x2的小正方形的基础上按步骤“补”出面积为（x+5）2的大正方形（如图6）；另一方面，在面积为x2的小正方形的基础上，利用“割补法”逐步求出形如x2-10x=39的一元二次方程的解（如图7）。
（二）课件设计，体现设计策略
1抽丝剥茧，步骤呈现
因为有限的记忆容量一次最多只能存储5～7条基本信息或信息组块，所以教师利用多媒体不能一次性呈现图形，而应该步骤化呈现。这体现了认知负荷理论的分离关联元素效应。例如在配方法课件设计中，教师步骤化呈现图形，并详细讲解每一个步骤，这种过程感可以使知识成为学习者思维导图中的一点，而不是单独的知识片段，帮助学生形成良好的知识体系[8]。
2去冗除余，简洁画面
在图形移动的过程中，教师应剔除无关主题的信息，保持精简的信息结构。这体现了认知负荷理论的冗余效应。例如在多媒体展示移动的过程中，与移动无关的边长、面积信息和虚线会影响到重点的突显，也使画面过于繁杂，教师在移动时可以不标注。
3动静结合，画龙点睛
在课件设计中，教师一方面强调图形步骤化呈现，另一方面要注意同一图形在每页课件中的位置不变，使选取组织耗用的认知资源降低，减少视觉对图形位置改变的处理，避免注意力分散[9]。此外，教师也可以用少而精的色彩变化，以突然出现的形式，强调重点或难点，吸引学生的注意力。这体现了认知负荷理论的注意分离效应。
4耳听目视，双管齐下
采用“视觉—听觉”双重感官形式输入材料的教学效果，要比单纯的视觉形式或听觉形式有效得多[10]。采用视觉和听觉双重感官模式输入材料，可以减少记忆负荷。这体现了认知负荷理论的通道效应。例如在“配方法”一课中，以学生观察图形移动为主、教师语言描述为辅的形式逐步呈现配方法，就综合利用了多种信息呈现形式，尽可能均衡使用学生的视觉和听觉通道。
（三）隐性适度，渗透数学文化
《普通高中数学课程标准（2017年版）》强调，教师要注重数学文化的渗透以及信息技术与数学课程的深度融合。但有些教师将其误解为不加修饰地引用数学历史故事。从认知负荷理论角度看，数学历史故事语言晦涩、信息丰富，反而增加了学生的外在认知负荷，对于有效学习并非是必要的。除了运用简化背景、用故事呈现等显性的方式，教师还可以隐性地渗透数学文化，例如摒弃故事本身，重在传播数学思想，即省略花拉子米的介绍，或将其作为兴趣延伸留给学生自学，着重说明“配方法”中的数形结合思想。
参考文献：
[1]沈志兴，洪燕君.“一元二次方程的配方法”：用历史体现联系[J].教育研究与评论（中学教育教学），2015（10）：3842.
[2]唐剑岚，周莹.认知负荷理论及其研究的进展与思考[J].广西师范大学学报（哲學社会科学版），2008（2）：7583.
[3]唐剑岚，喻平，周莹.增加样例学习中认知负荷的研究及思考[J].心理科学，2009（3）：663665.
[4]庞维国.认知负荷理论及其教学涵义[J].当代教育科学，2011（12）：2328.
[5]陈明璋.逐步引导注意力之多媒体教学设计对元切线性质学习之成效研究[J].台湾数学教育期刊，2016（2）：130.
[6]仲爱云.HPM视角下课堂教学的“虚”与“实”：以“一元二次方程的解法——配方法”为例[J].数学教学通讯，2016（26）：46，15.
[7]李爽，王光明.认知负荷理论视角下的勾股定理教学课件设计[J].数学通报，2017（1）：913.
[8]侯晓娟.基于认知负荷理论的二元均值不等式链教学设计[J].中学数学杂志，2017（7）：2730.
[9]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.
[10]程志，周铁.基于认知负荷理论的教学媒体设计[J].现代教育技术，2008（11）：5052，41.
【关键词】 认知负荷理论；配方法；课件设计
【作者简介】于艺，广西师范大学课程与教学论硕士研究生，研究方向为数学课程与教学论；梁丽芳，广西师范大学课程与教学论硕士研究生，研究方向为数学课程与教学论；周莹（本文通讯作者），广西师范大学数学与统计学院教授，硕士生导师，主要从事数学课程与教学论研究。“配方法解一元二次方程”的几何方法即“割补化方”[1]39。它的出现为教学设计提供了新思路，但在设计中易出现几何图形呈现无过程，或故事背景复杂，抑或思维方法不统一等问题，导致学生的认知负荷加重。认知负荷理论认为，教师通过有效的教学设计，改善学习任务或材料的信息呈现，可以降低学习者所承受的外在认知负荷[2]。笔者以“配方法”教学片段为例，尝试在教学设计中应用认知负荷理论及认知负荷效应，以达到减少外在认知负荷的目的。
一、认知负荷理论
认知负荷理论（cognitive load theory）是基于人类认知结构与外界信息结构交互作用而决定教学设计的理论[3]。认知负荷理论认为，面对既定的认知任务，个体产生的认知负荷主要来自三个方面：一是学习材料的性质，二是学习材料的呈现方式，三是学习者的已有经验。由此，认知负荷可分为内在认知负荷、外在认知负荷和相关认知负荷三类。内在认知负荷源于认知任务本身；外在认知负荷源于不良的教学设计；在建构图式时虽不是必需但投入后有利于图式建构的认知负荷是相关认知负荷。目前已揭示的认知负荷效应有12种，包括通道效应、注意分离效应、冗余效应、分离关联元素效应等。其中，分离关联元素效应以一种分离的方式逐次呈现具有关联性的信息元素，比一次性地呈现所有相关联的元素更能促进学习[4]。陈明璋也认为，在拥有稳固先备知识的基础上，教师逐步引导注意力的设计，让被接收的资讯做更有效的整合[5]。
二、基于认知负荷理论的“配方法”课例设计
（一）课例的基本背景
“配方法”是人教版数学教科书九年级上册“2121配方法”的学习内容，是对一元二次方程的深入认识，对学习“公式法”“因式分解法”等有重要影响。本节课蕴含分类讨论思想（根的个数）、数形结合思想（方程与配方图搭配）。本节课的重点是学生能用配方法解一元二次方程，难点是凑配成完全平方公式的方法与技巧，关键点是几何方法的使用。
（二）“配方法”教学设计过程
1教学内容处理设计
九世纪，阿拉伯数学家花拉子米在《代数学》中給出了解x2+10x=39的两种几何方法[6]，并对两种图形内含负荷量做了简单分析，见表1。从图形个数、一次项系数与添加常数项的关系上看，图2的负荷低于图1，因此选择图2为基本图形设计课件。
图形图1图2图形个数9个4个一次项分解将10x均分成4份将10x均分成2份添加常数项以25为边长的小正方形×4以5为边长的小正方形×1二者关系一次项系数的14的平方的4倍一次项系数的一半的平方以图2为基础设计方程x2+10x=39和方程x2-10x=39的几何方法图形，见表2。方程x2+10x=39的几何图形，见表2中的图3；方程x2-10x=39的几何图形，见表2中的图4。二者图形轮廓高度相似，因此，笔者建议将两种图形进行同步教学，见表2中的图5。
对于图3和图4，我们可以从代数、几何两种角度进行分析。从代数角度看，两个表达式都表示图形面积和，图3中的（x+5）2表示正方形面积等于不规则图形面积（即x2+10x=39）加小正方形面积；图4中的（x-5）2表示正方形面积等于不规则图形面积（即x2-10x=39）加小正方形面积。从几何角度看，二者图形轮廓相似，但我们通过观察发现，图3是在以x为边长的正方形基础上添加图形，这是几何中“补”的方法；图4是在以x为边长的正方形基础上进行的裁剪，这是几何中“割”的方法，不规则图形用同样“补”的方法得到正方形（即“割补法”）。课件展示的两种图形都建立在以x为边长的正方形基础上，故可以拼接起来（如图5），如此加深学生对配方法的整体认知，突出教学课件的沟通性。
2形如x2+10x=39的一元二次方程的几何方法
形如x2+10x=39的一元二次方程的几何方法以“补”为核心思想，在课件上“补”的部分用如图6-e的虚线表示。
第一步：在图形变化前复制一份（如图6-a），拆分出4个“零件”并去掉字母、标记序号备用（如图6-b），其中Ⅰ表示面积为x2的正方形，Ⅱ1、Ⅱ2表示面积为5x的长方形，Ⅲ表示面积为25的正方形。
第二步：取出Ⅰ放于中央，对图形进行步骤化移动，分别将Ⅱ1、Ⅱ2拼接到Ⅰ的右侧和下侧（如图6-c），图6-c代表x2+10x，其面积大小为39。为了避免线条对视觉的干扰，去掉线条边框、隐去序号，标记面积（如图6-d）。再将Ⅲ嵌入图形右下角，用红色虚线标注（如图6-e）。隐去中间边框，重新标记正方形面积及边长x+5（如图6-f）。
第三步：引导学生建立x2+10x、39、25和（x+5）2之间的等量关系，列出等式（如图6-a）。教师示范写出标准的配方法解方程过程，引导学生总结“添加的常数项与一次项系数（正数）”间的关系。
形如x2+10x=39的配方法，是将x2项与边长为x的正方形建立联系，10x项则是将两个长为x、宽为5的长方形，再“补”一个边长为5的小正方形，最终补成正方形的过程。如此设计基于以下几个方面的考虑。其一，利用步骤化呈现方式对图形进行移动，在移动过程中，图6-d、图6-e、图6-f和图6-a中三个代数式意义相同，这样使图形移动和代数展演过程一一对应，以图导文，增强学生对图像的了解。其二，不能在原图中移动图形，因为在原图进行移动的过程中会造成原来图形的变化，学生需要在工作记忆中保存先前呈现信息的表象表征，增加了认知负荷[7]。其三，教师要规范配方法解一元二次方程的过程，使学生从几何理解向代数表达发展。 3形如x2-10x=39 的一元二次方程的几何方法
一次项系数为负数的一元二次方程几何方法以“割补”为核心思想，“割”的部分用虚线表示，“补”的部分用如图7-f的虚线表示。
第一步：同理，图形变形前复制图形（如图7-a），去掉字母，标记序号备用（如图7-b），其中Ⅰ表示面积为x2的正方形，Ⅱ1、Ⅱ2表示面积为5x的长方形，Ⅲ表示面积为25的正方形。
第二步：取出Ⅰ放于中央，对图形进行步骤化移动，从Ⅰ右侧裁剪长为x、宽为5的长方形Ⅱ1（如图7-c），从下方裁剪长为x、宽为5的长方形Ⅱ1，但由于长度不够，需在余下图形中裁减边长为5的正方形Ⅲ（如图7-d），图7-d中实线图形代表x2-10x，其面积大小为39。隐去虚线、序号并标注面积（如图7-e）。将Ⅲ嵌入图形右下角，用如图7-f的虚线标注。隐去中间边框，重新标记正方形面积及其边长x-5（如图7-g）。
第三步：引导学生建立x2-10x、39、25和（x-5）2之间的等量关系，列出等式（如图7-a）。引导学生找出“添加的常数项与一次项系数（负数）”之间的关系，总结异同后，归纳“添加的常数项与一次项系数（实数）之间的关系”，即“添加的常数项等于一次项系数一半的平方”。
【设计意图】
形如x2-10x=39的配方法，是在边长为x的正方形上先后割掉两个面积为5x的长方形，再“补”一个边长为5的小正方形，最终凑成正方形的过程。如此设计是基于以下几个方面的考虑。其一，当方程从x2+10x=39变为x2-10x=39时，引导学生联想“补”的逆过程（即“割”）。其二，同理，利用步骤化呈现方式对图形进行移动，移动过程中图7-e、图7-f、图7-g分别和图7-a中三个代数式意义相同。在“割”的过程中，图7-d的切割尤其需要说明“为什么”以及“怎样做”；在“补”的过程中，学生可以模仿x2+10x=39“补”的过程，做到即学即会。其三，统一“一次项系数为正、负”的两种情况，强调“添加一次项系数一半的平方”，总结配方法解一元二次方程的“移、加、化、解”四个步骤[1] 41。
三、认知负荷理论指导课件设计的体现
（一）优化图形，贯彻几何方法
九年级学生已初步形成数形结合的意识，具备将代数符号语言和几何图形语言相互转化的能力。配方法的几何模型为学生直观理解、长期记忆配方法提供了帮助。但以往的教学设计往往忽视几何方法在方程一次项系数为负数时的应用。因此，在课件制作中，一方面，在面积为x2的小正方形的基础上按步骤“补”出面积为（x+5）2的大正方形（如图6）；另一方面，在面积为x2的小正方形的基础上，利用“割补法”逐步求出形如x2-10x=39的一元二次方程的解（如图7）。
（二）课件设计，体现设计策略
1抽丝剥茧，步骤呈现
因为有限的记忆容量一次最多只能存储5～7条基本信息或信息组块，所以教师利用多媒体不能一次性呈现图形，而应该步骤化呈现。这体现了认知负荷理论的分离关联元素效应。例如在配方法课件设计中，教师步骤化呈现图形，并详细讲解每一个步骤，这种过程感可以使知识成为学习者思维导图中的一点，而不是单独的知识片段，帮助学生形成良好的知识体系[8]。
2去冗除余，简洁画面
在图形移动的过程中，教师应剔除无关主题的信息，保持精简的信息结构。这体现了认知负荷理论的冗余效应。例如在多媒体展示移动的过程中，与移动无关的边长、面积信息和虚线会影响到重点的突显，也使画面过于繁杂，教师在移动时可以不标注。
3动静结合，画龙点睛
在课件设计中，教师一方面强调图形步骤化呈现，另一方面要注意同一图形在每页课件中的位置不变，使选取组织耗用的认知资源降低，减少视觉对图形位置改变的处理，避免注意力分散[9]。此外，教师也可以用少而精的色彩变化，以突然出现的形式，强调重点或难点，吸引学生的注意力。这体现了认知负荷理论的注意分离效应。
4耳听目视，双管齐下
采用“视觉—听觉”双重感官形式输入材料的教学效果，要比单纯的视觉形式或听觉形式有效得多[10]。采用视觉和听觉双重感官模式输入材料，可以减少记忆负荷。这体现了认知负荷理论的通道效应。例如在“配方法”一课中，以学生观察图形移动为主、教师语言描述为辅的形式逐步呈现配方法，就综合利用了多种信息呈现形式，尽可能均衡使用学生的视觉和听觉通道。
（三）隐性适度，渗透数学文化
《普通高中数学课程标准（2017年版）》强调，教师要注重数学文化的渗透以及信息技术与数学课程的深度融合。但有些教师将其误解为不加修饰地引用数学历史故事。从认知负荷理论角度看，数学历史故事语言晦涩、信息丰富，反而增加了学生的外在认知负荷，对于有效学习并非是必要的。除了运用简化背景、用故事呈现等显性的方式，教师还可以隐性地渗透数学文化，例如摒弃故事本身，重在传播数学思想，即省略花拉子米的介绍，或将其作为兴趣延伸留给学生自学，着重说明“配方法”中的数形结合思想。
参考文献：
[1]沈志兴，洪燕君.“一元二次方程的配方法”：用历史体现联系[J].教育研究与评论（中学教育教学），2015（10）：3842.
[2]唐剑岚，周莹.认知负荷理论及其研究的进展与思考[J].广西师范大学学报（哲學社会科学版），2008（2）：7583.
[3]唐剑岚，喻平，周莹.增加样例学习中认知负荷的研究及思考[J].心理科学，2009（3）：663665.
[4]庞维国.认知负荷理论及其教学涵义[J].当代教育科学，2011（12）：2328.
[5]陈明璋.逐步引导注意力之多媒体教学设计对元切线性质学习之成效研究[J].台湾数学教育期刊，2016（2）：130.
[6]仲爱云.HPM视角下课堂教学的“虚”与“实”：以“一元二次方程的解法——配方法”为例[J].数学教学通讯，2016（26）：46，15.
[7]李爽，王光明.认知负荷理论视角下的勾股定理教学课件设计[J].数学通报，2017（1）：913.
[8]侯晓娟.基于认知负荷理论的二元均值不等式链教学设计[J].中学数学杂志，2017（7）：2730.
[9]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.
[10]程志，周铁.基于认知负荷理论的教学媒体设计[J].现代教育技术，2008（11）：5052，41.