[摘要]本文通过对薄透镜高斯公式物像关系数学形式的分析和讨论，得出其物像关系图形的数学形式是双曲线标准形式的转化。
　　[关键词]薄透镜 高斯公式 双曲线 转化
　　引言
　　在赵凯华、钟锡华编著《光学》一书中（第一版），第六十页上面有这样一个公式： ，此公式就是关于薄透镜成像的物像公式的高斯形式，而它就是双曲线标准形式的转化。
　　一、证明高斯公式是双曲线标准形式的转化
　　（一）物像关系图（可参见书中第六十页图6—3）
　　|f|=a
　　在上图中，我们假设它表示的曲线在xoy坐标系下是双曲
　　线。那么，根据图示可写出双曲线标准形式为 （1）
　　下面对标准形式做变换。
　　首先进行坐标平移，也就使xoy坐标系沿x轴负方向平移
　　个单位后变为x`oy`，这样就有： （2）
　　变换为： （3）
　　把（3）代入（1）式中有：
　　（4）
　　以上进行的第一步是坐标平移，下面作第二步工作是坐标旋转，也就是使x`o`y`坐标轴顺时针转π/4角度变成x``o`y``，
　　这样坐标变换就是： （5）
　　将 代入（5）中可得： （6）
　　将（6）式代入（4）有：
　　化简可得：
　　将（7）式两边同除以x``y``，有： （8）
　　将（8）式两边再同除以a，有： （9）
　　把（9）式与高斯公式进行比较，联系物像关系图可得
　　，
　　图中是以|f|=a为单位画出，所以有 ，代替后（9）变为 ，这就是所谓物像公式的高斯形式，其中：
　　s代表物体离薄透镜光心之间的距离，也就是物距。
　　s`代表物体经薄透镜成像后离薄透镜光心之间的距离，也就是像距
　　f代表薄透镜的焦距。
　　这样，就证明了薄透镜物像公式的高斯形式是双曲线标准形式的转化。下面，联系双曲线的性质与成像性质进行比较：
　　对双曲线： 的渐近线为y=±x （10）
　　利用（3）、（6）式将（10）化为在x``o`y``坐标系中，其渐近线的表示为：
　　化简得： ，这两条渐进线如图中所示。
　　从（3）、（6）两式可以得出，标准形式与高斯形式的坐标变换关系为：
　　二、讨论
　　（一）在双曲线顶点A处：
　　，联立（3）（6）可解出x``、y``：
　　这样即：s=x``=2a，s`=y``=2a。这就表示把物体放在薄透镜物方空间的二倍焦距的时候，在像方空间的二倍焦距处得到物的像，这就是顶点A所对应的物理意义，即二倍焦距处得到物体成像于二倍焦距处。
　　（二）在双曲线顶点o`处：
　　，联立（3）（6）可解出x``、y`` ：
　　这样即：
　　这就表示把物体放在薄透镜光心处不能成像，所以顶点 的物理意义：光心处物体不能成像。
　　（三）关于双曲线的渐近线
　　这说明它对应的是薄透镜的焦平面，处于焦平面的点成像无穷远处，或者无穷远处的物体成像与焦平面上。
　　以上就是关于双曲线与透镜性质的讨论。
　　[参考文献]
　　[1]赵凯华，钟锡华.光学[M].北京：北京大学出版社，1984：59-60.
　　[2]樊映川.高等数学[M].北京：高等教育出版社，1980：79-83.
　　（作者单位：包头师范学院 物理科学与技术学院 内蒙古包头）