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导数在现行的高中数学教材中处于一种特殊的地位,是联系高等数学与初等数学的纽带,是高中数学知识的一个重要交汇点,是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具。
一、导数在高中数学新课程中的地位
高中数学课程是由必修课程和选修课程两部分构成的。必修课程是整个高中数学课程的基础,选修课程是在完成必修课程学习的基础上,希望进一步学习数学的学生根据自己的兴趣和需求选修。导数在选修课程里,是函数学习的进一步深入。
(一)有利于学生更好地理解函数的性态
在高中阶段学习函数时,为了理解函数的性态,学生主要学习函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。如 ,y=x3-2x2+x-1,y=ex-x-1等函数,仅用描点法就很难较为准确地作出图像。但是,掌握了导数的知识之后,学生就可以利用函数的一阶导数判定函数的单调区间、极值点、最值点,然后再结合描点法,就能较为准确地作出函数的图像。这样就有利于学生更好地理解函数的性态,同时也拓宽了学生的知识面。
(二)有利于学生更好地掌握函数思想
数学上的许多问题,用初等数学方法是不能解决的,或者难以解决,而通过数学模型建立函数关系,利用函数思想,然后用导数来研究其性质,充分发挥导数的工具性和应用性的作用,可以轻松简捷地获得问题的解决,这也正体现和显示了新课程的优越性。
其实我们不难发现,函数是建立在中学数学知识和导数之间的一座桥梁,不管是在证明不等式,解决数列求和的有关问题,以及解决一些实际应用问题,我们都可以构造函数模型,并且利用导数,来解决相关问题。
(三)有利于学生弄清曲线的切线问题
学生由于受“圆上某点的切线”的定义的影响,误认为曲线在某点处的切线,就是与曲线有一个公共点的直线。如果学习了导数的定义及其几何意义后,学生就知道f(x)在点X=X0 的切线斜率k,正是割线斜率在X→X0时的极限,即
由导数的定义 所以曲线y=f(x) 在点(x0,y0)的切线方程是
这就是说:函数f在点x0的导数 是曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线斜率。
从而,学生就掌握了切线就是割线的极限位置,可能与曲线有多个交点。
(四)有利于学生学好其他学科
高中的物理、化学等课程都与数学紧密相关,我们所学的导数是微分学的核心概念,它在物理、化学、生物、天文、工程以及地质学等中都有着广泛的应用。在学习并且掌握了导数及其应用以后,学生就可以很容易地根据做变速直线运动物体的运动方程:算出物体的瞬时速度: 、瞬时加速度: 对化学中的反应速度、冷却速度等也都可以通过微积分的方法来解决了。
(五)有利于发展学生的思维能力
通过学习导数,使学生学会以动态的、变化的、无限的变量数学观点来研究问题,而不仅仅是停留在静态的、不变的、有限的常量数学观点上。在学习过程中逐步体会常量与变量、有限与无限、近似与准确、动与静、直与曲的对立与统一,发展学生的辩证思维能力。
二、导数在解题中的应用
导数作为高中新教材的新增内容之一,它给高中数学增添了新的活力,特别是导数广泛的应用性,为解决函数、切线、不等式、数列、实际等问题带来了新思路、新方法,也使它成为新教材高考试题的热点和命题新的增长点。这几年的高考命题趋势表明:导数是分析问题和解决问题的重要工具。下面举例探讨导数的应用。
(一)利用导数解决函数问题
⒈利用导数求函数的解析式
例1 设函数y=ax3+bx2+cx+d的图像与 轴交点为p点,且曲线在p点处的切线方程为 12x-y-4=0,若函数在x=2处取得极值0,试确定函数的解析式.
分析:①切点既在曲线上又在切线上;②切线斜率的两种求法。
⒉利用导数求函数的值域
⒊利用导数求函数的最(极)值
一般地,函数f(x)在闭区间[a,b]上可导,则f(x)在[a,b]上的最值求法:
(1) 求函数f(x)在(a,b)上的极值点;
(2) 计算f(x)在极值点和端点的函数值;
(3) 比较f(x)在极值点和端点的函数值,最大的是最大值,最小的是最小值。
⒋利用导数求函数的单调区间
函数的单调性是函数的一个重要性质,是研究函数时经常要注意的一个性质.函数的单调性与函数的导数密切相关,运用导数知识来讨论函数单调性时,结合导数的几何意义,只需考虑 的正负即可,当 时,f(x)单调递增;当 时,f(x)单调递减。
(二)利用导数解决切线问题
题型:求过某一点的切线方程
例5 求曲线 在原点处的切线方程.
分析: 此类题型为点不在曲线上求切线方程,应先设出切点坐标,表示出切线方程,把已知点代入方程,求出切点坐标后,再求切线方程.
(三)利用导数解决不等式问题
纵观这几年的高考,凡涉及到不等式证明的问题,其综合性强、思维量大,因此历来是高考的难点。利用导数证明不等式,就是利用不等式与函数之间的联系,直接或间接等价变形后,结合不等式的结构特征,构造相应的函数。通过导数运算判断出函数的单调性,将不等式的证明转化为函数问题。
综上所述,原命题成立.
(四)利用导数解决数列问题
数列是高中数学中的一个重要部分,而数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一,有许多初等解决方法。事实上数列可看作是自变量为正整数的特殊的函数,所以可以利用数列和函数的关系,再运用导数来解决数列求和的有关问题。
三、结束语
导数及其应用是微积分学的重要组成部分,是解决许多问题的有力工具,它全面体现了数学的价值:既给学生提供了一种新的方法,又给学生提供了一种重要的思想。总之,开设导数不仅促进学生全面认识了数学的价值,而且发展了学生的辩证思维能力,也为今后进一步学好微积分打下基础。因此,在高中阶段为学生开设导数及其应用具有深刻的意义。
一、导数在高中数学新课程中的地位
高中数学课程是由必修课程和选修课程两部分构成的。必修课程是整个高中数学课程的基础,选修课程是在完成必修课程学习的基础上,希望进一步学习数学的学生根据自己的兴趣和需求选修。导数在选修课程里,是函数学习的进一步深入。
(一)有利于学生更好地理解函数的性态
在高中阶段学习函数时,为了理解函数的性态,学生主要学习函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。如 ,y=x3-2x2+x-1,y=ex-x-1等函数,仅用描点法就很难较为准确地作出图像。但是,掌握了导数的知识之后,学生就可以利用函数的一阶导数判定函数的单调区间、极值点、最值点,然后再结合描点法,就能较为准确地作出函数的图像。这样就有利于学生更好地理解函数的性态,同时也拓宽了学生的知识面。
(二)有利于学生更好地掌握函数思想
数学上的许多问题,用初等数学方法是不能解决的,或者难以解决,而通过数学模型建立函数关系,利用函数思想,然后用导数来研究其性质,充分发挥导数的工具性和应用性的作用,可以轻松简捷地获得问题的解决,这也正体现和显示了新课程的优越性。
其实我们不难发现,函数是建立在中学数学知识和导数之间的一座桥梁,不管是在证明不等式,解决数列求和的有关问题,以及解决一些实际应用问题,我们都可以构造函数模型,并且利用导数,来解决相关问题。
(三)有利于学生弄清曲线的切线问题
学生由于受“圆上某点的切线”的定义的影响,误认为曲线在某点处的切线,就是与曲线有一个公共点的直线。如果学习了导数的定义及其几何意义后,学生就知道f(x)在点X=X0 的切线斜率k,正是割线斜率在X→X0时的极限,即
由导数的定义 所以曲线y=f(x) 在点(x0,y0)的切线方程是
这就是说:函数f在点x0的导数 是曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线斜率。
从而,学生就掌握了切线就是割线的极限位置,可能与曲线有多个交点。
(四)有利于学生学好其他学科
高中的物理、化学等课程都与数学紧密相关,我们所学的导数是微分学的核心概念,它在物理、化学、生物、天文、工程以及地质学等中都有着广泛的应用。在学习并且掌握了导数及其应用以后,学生就可以很容易地根据做变速直线运动物体的运动方程:算出物体的瞬时速度: 、瞬时加速度: 对化学中的反应速度、冷却速度等也都可以通过微积分的方法来解决了。
(五)有利于发展学生的思维能力
通过学习导数,使学生学会以动态的、变化的、无限的变量数学观点来研究问题,而不仅仅是停留在静态的、不变的、有限的常量数学观点上。在学习过程中逐步体会常量与变量、有限与无限、近似与准确、动与静、直与曲的对立与统一,发展学生的辩证思维能力。
二、导数在解题中的应用
导数作为高中新教材的新增内容之一,它给高中数学增添了新的活力,特别是导数广泛的应用性,为解决函数、切线、不等式、数列、实际等问题带来了新思路、新方法,也使它成为新教材高考试题的热点和命题新的增长点。这几年的高考命题趋势表明:导数是分析问题和解决问题的重要工具。下面举例探讨导数的应用。
(一)利用导数解决函数问题
⒈利用导数求函数的解析式
例1 设函数y=ax3+bx2+cx+d的图像与 轴交点为p点,且曲线在p点处的切线方程为 12x-y-4=0,若函数在x=2处取得极值0,试确定函数的解析式.
分析:①切点既在曲线上又在切线上;②切线斜率的两种求法。
⒉利用导数求函数的值域
⒊利用导数求函数的最(极)值
一般地,函数f(x)在闭区间[a,b]上可导,则f(x)在[a,b]上的最值求法:
(1) 求函数f(x)在(a,b)上的极值点;
(2) 计算f(x)在极值点和端点的函数值;
(3) 比较f(x)在极值点和端点的函数值,最大的是最大值,最小的是最小值。
⒋利用导数求函数的单调区间
函数的单调性是函数的一个重要性质,是研究函数时经常要注意的一个性质.函数的单调性与函数的导数密切相关,运用导数知识来讨论函数单调性时,结合导数的几何意义,只需考虑 的正负即可,当 时,f(x)单调递增;当 时,f(x)单调递减。
(二)利用导数解决切线问题
题型:求过某一点的切线方程
例5 求曲线 在原点处的切线方程.
分析: 此类题型为点不在曲线上求切线方程,应先设出切点坐标,表示出切线方程,把已知点代入方程,求出切点坐标后,再求切线方程.
(三)利用导数解决不等式问题
纵观这几年的高考,凡涉及到不等式证明的问题,其综合性强、思维量大,因此历来是高考的难点。利用导数证明不等式,就是利用不等式与函数之间的联系,直接或间接等价变形后,结合不等式的结构特征,构造相应的函数。通过导数运算判断出函数的单调性,将不等式的证明转化为函数问题。
综上所述,原命题成立.
(四)利用导数解决数列问题
数列是高中数学中的一个重要部分,而数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一,有许多初等解决方法。事实上数列可看作是自变量为正整数的特殊的函数,所以可以利用数列和函数的关系,再运用导数来解决数列求和的有关问题。
三、结束语
导数及其应用是微积分学的重要组成部分,是解决许多问题的有力工具,它全面体现了数学的价值:既给学生提供了一种新的方法,又给学生提供了一种重要的思想。总之,开设导数不仅促进学生全面认识了数学的价值,而且发展了学生的辩证思维能力,也为今后进一步学好微积分打下基础。因此,在高中阶段为学生开设导数及其应用具有深刻的意义。