【摘要】T1空间X的Wallman紧化W(X)是在X的所有闭集族上的极大滤子族上构造拓扑而获得的.所有闭集族上的滤子族作为dcpo而具有Scott拓扑.该文主要讨论W(X)作为Scott空间的子空间与T1空间X的Wallman紧化之间的关系.
　　【关键词】闭滤子族；Wallman紧化；Scott拓扑
　　
　　1.引 言
　　紧性是最重要的一个拓扑性质.因此把一个一般的空间嵌入到一个紧空间是一件很有意义的工作.对于T1空间X有没有对应的T1紧化呢？在上世纪30年代Wallman回答了这一问题并构造出了著名的Wallman紧化，它的主要价值在于它很好地保持了有限交和并的运算.它把T1空间X的拓扑变为紧空间W(X)的拓扑的一个基，这意味着X与W(X)有相同的维数（在覆盖意义下）以及同构的Cech同调群.
　　而在一个定向完备的偏序集（dcpo）L上，UL，若U为上集，且对于L上的任意定向集D，supD∈U有U∩D≠，则称U为Scott开集，L的所有的Scott开集构成的拓扑空间称为L上的Scott拓扑，记做σ(L).它在序理论中有很重要的应用.于是把一个T1空间的Wallman紧化与偏序集的Scott拓扑建立联系是很有意义的，本文正是来做这样的工作.
　　2.问题的引入
　　首先我们给出Wallman紧化的定义.设X为一个T1空间，X的闭集族上的所有真滤子（简称闭滤子）之集记为C.注意到每个闭滤子必包含在一个极大闭滤子中，不妨把所有的极大闭滤子的全体记为max(C).x∈X，记ξx为X中包含{x}的闭集全体.易验证ξx∈max(C).作从X到max(C)的映射φ:x→ξx，φ为单射.可以认为X为max(C)的一个子集.U开于X，令U*={ξ:ξ∈max(C)且A∈ξ使得AU}，则max(C)上以{U*:U开于X}为基生成的拓扑空间限制在X上恰好就是T1空间X，且X是它的稠子空间，我们称它为X的Wallman紧化，简记为W(X).
　　下面我们讨论C的性质，易验证.
　　引理1 (C,)与(C,)均构成dcpo.
　　推论2 在(C,)中由闭滤子构成的定向集D存在上确界（关于）且supD=∪D.
　　证明 只需证∪D为一闭滤子即可.
　　显然∪D为一上集，U1，U2∈∪D存在ξ1,ξ2∈D使得U1∈ξ1，U2∈ξ2.而D定向可知存在ξ3∈D满足ξ1∪ξ2ξ3，故U1∩U2∈ξ3∪D.证毕.
　　于是可以在(C,)与(C,)上定义Scott拓扑，相应得到(C,σ(C))与(C,σ(Cop)).
　　问题 σ(C)与σ(Cop)在max(C)上的子拓扑与W(X)之间的关系？
　　3.σ(C)|max(C)与W(X)之间的关系
　　首先我们讨论W(X)中的开集是否开于σ(C)|max(C).我们有如下结论：
　　定理3 对于任意的V开于W(X)，有V开于σ(C)|max(C).
　　证明 我们只需证明V为W(X)的基元时上结论成立即可.即存在X中的开集U使得U*=V.构造闭滤子族Θ={θ:θ∈C且存在A∈θ使得AU}，易知Θ∩max(C)=V.
　　现证Θ为(C,σ(C))上的开集.
　　对于任意的定向集D，若supD=∪D∈Θ，则存在A∈∪D使得AU，故存在ξ∈D使得A∈ξ.于是我们有ξ∈Θ，即得Θ为Scott开集.
　　下面考虑反过来的事情，即σ(C)|max(C)的开集是否亦开于W(X).
　　定理4 x∈X，φ(x)=ξx∈max(C)，则{ξx}为Scott开集.
　　证明 对于任意的定向集D，有supD=∪D=ξx，又由{x}∈ξx，故{x}∈∪D.于是存在ξ∈D使得{x}∈ξ，而ξ为上集，于是有ξ=ξx∈{ξx}.证毕.
　　由定理4可知σ(C)|max(C)上所有形如{ξx}的集合为开集，故欲使σ(C)|max(C)与W(X)相同，则要求{ξx}开于W(X).而W(X)限制在X上，与X本来的拓扑结构一致，于是X只能是离散拓扑空间，且我们有：
　　定理5 σ(C)|max(C)与W(X)相同的充要条件是X为离散拓扑空间.
　　证明 由上面的讨论知必要性是显然的.
　　下面证明充分性：事实上只需证明当X为离散拓扑空间时，对于任意的U开于(C,σ(C))，只需U∩max(C)开于W(X)即可.对于任意的ξ∈U∩max(C)，V∈ξ.令V′={A|A为X上的闭集且VA}，即V′为X上所有包含V的闭集构成的闭滤子（实际上X的任何子集均为闭集）.
　　令D={V|V∈ξ}，则对于任意的V′ 1，V′ 2∈D，由V1∩V2∈ξ，故(V1∩V2)′∈D且V′ 1(V1∩V2)′，V′ 2(V1∩V2)′，于是D为定向集.
　　又由ξ为上集，supD=∪D=ξ∈U，而U为Scott开集，故存在V′ 0∈D且V′ 0∈U.
　　由X为离散拓扑，故V0为开集.
　　而U为上集，故ξ′∈V*0，有V′ 0ξ′，所以ξ′∈U.因此我们得到V*0U，显然有ξ∈V*0U∩max(C)，而V*0为W(X)的基元，所以U∩max(C)为W(X)上的开集.即得该命题成立.
　　综上我们知σ(C)|max(C)细于W(X)，只有当X为离散拓扑空间时二者相同.
　　由于离散拓扑空间它的StoneCech紧化与Wallman紧化是相同的，于是有：
　　推论 任一离散空间X，它的StoneCech紧化是其闭滤子族上的Scott拓扑的限制.
　　
　　【参考文献】
　　［1］［美］J.L.凯莱.一般拓扑学.科学出版社，1982.
　　［2］［日］儿玉之宏，涌见启应.拓扑空间论.科学出版社，1984.
　　［3］G GIERZ，K H HOFMANN，K KEIMEL，J D LAWSON，M MISLOVE，D S SCOTT.Continuous Lattices and Domains.CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS，2003.