论文部分内容阅读
问题：圆周上有10个等分圆周的点，从这10个点中任取3个点作为一个三角形的顶点，则所作的三角形中，直角三角形有多少个？
对于此问题，解决起来比较简单：一个圆内接三角形要能成为直角三角形，则其中有一边必须恰为直径。而在这10个等分圆周的点中，共有5条直径，每条直径与另外8个点均可构成直角三角形，所以共有直角三角形5×8=40个。但如果要求的是钝角三角形、锐角三角形或是n个点呢？
变式1：圆周上有10各等分圆周的点，从这10个点中任取3个作一个三角形，求所作的三角形中钝角三角形、锐角三角形各有多少个？
现在我们来看过其中一个顶点的钝角三角形个数。
如图：设过点A的直径为AB，则过点A的钝角三角形可分为2类：
第一类：另外两点在直径AB同侧，有2×C=2×6=12个。
第二类：另外两点在直径AB异侧，因为过点C、D、E、F的钝角三角形分别有3、2、1、0个，所以过点A的钝角三角形共有18个，由此可知，从这10个点中任取3个作一个三角形，则所作的三角形中，钝角三角形共有个；至于锐角三角形个数，则用“总共的三角形个数—钝角三角形个数—直角三角形个数”即可得出，所以有C-40–60=20个。
变式2：圆周上有n（n≥3）个等分圆周的点，从这n个点中任取3个点作为一个三角形的顶点，则所作的三角形中直角三角形、钝角三角形、锐角三角形各有多少个？
对于直角三角形，问题比较简单：当n为偶数即n=2m时，因为共有m条直径，所以共有m(2m-2)个直角三角形，当n为奇数，即n=2m+1时，此时，任意两点连线所组成的线段都不是直径，所以无直角三角形，即直角三角形个数为0。现在我们来看其中的钝角三角形个数：当n比较小时，我们可以直接数出来，现将3≤n≤10时钝角三角形的个数y列举如下：
从表中，我们可以看到，当n比较小时，钝角三角形个数y与n之间有如下关系：
当n为奇数，即n=2m+1时，y=；当n为偶数，即n=2m时，y=m(m-1)(m-2)。
那么是否对所有n≥3都有上述关系呢？
当n为偶数，即n=2m时，类似n=10的情形，我们来计算过圆上其中一点A的钝角三角形个数。
如图：设过点A的直径为AB，在AB两边分别有m-1个点，则过点A的钝角三角形也可分为2类：
第一类：另外两点在直径AB同侧，共有2C2m-1=(m-1)(m-2)个。
第二类：另外两点在直径AB异侧，设与A相邻的点为A1，过点A1的直径与圆的另外一个交点为B1，因为A1B1为直径，所以只要是在过A、B1两点的劣弧的点均可与A、A1两点组成钝角三角形，共有m–2个；同理可求得过A、A2两点的钝角三角形有m–3个，过A与A3、A4Am-2、Am-1的钝角三角形分别为m–4、m-51、0个，所以过点A且另外两点在直径AB异侧的钝角三角形共有1 + 2 ++(m–2) =个。由此可得，过点A的钝角三角形共有(m–1) (m–2) + =个，2m个点则共有3m (m – 1) (m – 2)个，又因为每个三角形在过其每一个顶点时都算了一次，即一个三角形重复算了3次，所以总共的钝角三角形应为=m(m–1)(m–2)个。所以当n为偶数，即n = 2m时，共有钝角三角形m(m–1)(m–2)个。
用同样方法，我们可以求得当n为奇数，即n=2m+1时，其钝角三角形个数为。
又因为从这n个等分圆周的点中任取3个点作为一个三角形的顶点，共有三角形C个，所以其中的锐角三角形个数为：当n为偶数即n = 2m时，有个；当n为奇数即n = 2m - 1时有个。即：
类似上面的问题还有很多，看似一个几何问题，实质却是以几何为背景的排列组合问题。因此，我们在解题过程中，一定要注意切勿将问题表面化，要深入分析问题，发现隐藏在问题背后的本质，同时找出问题的切入点，这样问题就迎刃而解了。
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
对于此问题，解决起来比较简单：一个圆内接三角形要能成为直角三角形，则其中有一边必须恰为直径。而在这10个等分圆周的点中，共有5条直径，每条直径与另外8个点均可构成直角三角形，所以共有直角三角形5×8=40个。但如果要求的是钝角三角形、锐角三角形或是n个点呢？
变式1：圆周上有10各等分圆周的点，从这10个点中任取3个作一个三角形，求所作的三角形中钝角三角形、锐角三角形各有多少个？
现在我们来看过其中一个顶点的钝角三角形个数。
如图：设过点A的直径为AB，则过点A的钝角三角形可分为2类：
第一类：另外两点在直径AB同侧，有2×C=2×6=12个。
第二类：另外两点在直径AB异侧，因为过点C、D、E、F的钝角三角形分别有3、2、1、0个，所以过点A的钝角三角形共有18个，由此可知，从这10个点中任取3个作一个三角形，则所作的三角形中，钝角三角形共有个；至于锐角三角形个数，则用“总共的三角形个数—钝角三角形个数—直角三角形个数”即可得出，所以有C-40–60=20个。
变式2：圆周上有n（n≥3）个等分圆周的点，从这n个点中任取3个点作为一个三角形的顶点，则所作的三角形中直角三角形、钝角三角形、锐角三角形各有多少个？
对于直角三角形，问题比较简单：当n为偶数即n=2m时，因为共有m条直径，所以共有m(2m-2)个直角三角形，当n为奇数，即n=2m+1时，此时，任意两点连线所组成的线段都不是直径，所以无直角三角形，即直角三角形个数为0。现在我们来看其中的钝角三角形个数：当n比较小时，我们可以直接数出来，现将3≤n≤10时钝角三角形的个数y列举如下：
从表中，我们可以看到，当n比较小时，钝角三角形个数y与n之间有如下关系：
当n为奇数，即n=2m+1时，y=；当n为偶数，即n=2m时，y=m(m-1)(m-2)。
那么是否对所有n≥3都有上述关系呢？
当n为偶数，即n=2m时，类似n=10的情形，我们来计算过圆上其中一点A的钝角三角形个数。
如图：设过点A的直径为AB，在AB两边分别有m-1个点，则过点A的钝角三角形也可分为2类：
第一类：另外两点在直径AB同侧，共有2C2m-1=(m-1)(m-2)个。
第二类：另外两点在直径AB异侧，设与A相邻的点为A1，过点A1的直径与圆的另外一个交点为B1，因为A1B1为直径，所以只要是在过A、B1两点的劣弧的点均可与A、A1两点组成钝角三角形，共有m–2个；同理可求得过A、A2两点的钝角三角形有m–3个，过A与A3、A4Am-2、Am-1的钝角三角形分别为m–4、m-51、0个，所以过点A且另外两点在直径AB异侧的钝角三角形共有1 + 2 ++(m–2) =个。由此可得，过点A的钝角三角形共有(m–1) (m–2) + =个，2m个点则共有3m (m – 1) (m – 2)个，又因为每个三角形在过其每一个顶点时都算了一次，即一个三角形重复算了3次，所以总共的钝角三角形应为=m(m–1)(m–2)个。所以当n为偶数，即n = 2m时，共有钝角三角形m(m–1)(m–2)个。
用同样方法，我们可以求得当n为奇数，即n=2m+1时，其钝角三角形个数为。
又因为从这n个等分圆周的点中任取3个点作为一个三角形的顶点，共有三角形C个，所以其中的锐角三角形个数为：当n为偶数即n = 2m时，有个；当n为奇数即n = 2m - 1时有个。即：
类似上面的问题还有很多，看似一个几何问题，实质却是以几何为背景的排列组合问题。因此，我们在解题过程中，一定要注意切勿将问题表面化，要深入分析问题，发现隐藏在问题背后的本质，同时找出问题的切入点，这样问题就迎刃而解了。
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”