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教学中笔者发现，在高职学生电路分析的教材中，关于正弦交流电的相量法分析，大多数的教科书都是直接给出具体的解题步骤，但对其中隐含的一部分电路特性的说明、描述线性电路的数学方程的特点、相量法来源的简单介绍有所欠缺，导致学生对此方法的掌握和熟练应用都存在一定的困难。本文就关于正弦交流电路的相量法进行简单程度的来龙去脉的分析讲解，旨在让高职的学生能够在阅读此文后，对电路分析中的相量法有一个更加深刻的理解和掌握，便于熟练应用于各种电路模型的分析计算。
正弦交流电是人类智慧的创造发明，现实生活中，大型电站发电、传输、供电以及耗电基本都是发生在正弦稳态的条件下;其次，掌握正弦电路的行为是分析非正弦电路的前提，再次，正弦稳态可以简化电力系统的设计，在很多场合下，设计师首先设计出吻合正弦交流电要求的电力设备，而后，此设备对于非正弦交流电通常也会有令人满意的响应结果。
在研究电路对正弦交流电的响应时，首先明确电路的研究范围，我们这里的电路是线性电路，所以有必要对线性电路的概念进行简单讲述。
一、線性电路
线性电路是指完全由线性时不变无源元件、独立源或线性受控源构成的电路。线性就是指输入和输出之间关系可以用线性函数表示，从而使之与非线性区分开来。
线性电路最基本的特性应该是它具有叠加性与均匀性。叠加性与均匀性的含义可以用图1来说明。
<D：＼书＼排版＼速读·上旬201512＼速读排版12上定稿打包＼Image＼image1.png>
图1：线性电路示意图
图1电路中，x表示加在电路上的输入信号，即激励;y表示电路对该输入信号产生的输出，即响应。
叠加性的含义：若激励x1产生的响应为y1，激励x2产生的响应为y2，则当x1和x2共同作用于电路时产生的响应为y1+y2。
均匀性的含义：若激励x作用于电路产生的响应为y，则激励kx作用于电路产生的响应必为ky。也就是说，线性电路对于各个激励共同作用的响应是各个激励的叠加。
二、正弦激励下的三角函数法解题
研究正弦信号激励下，线性电路的响应时，我们需要借助数学上的三角函数，对电路的激励电压源，电流源进行三角函数表示。再运用线性电路中三类元件R，L，C元件的VCR关系，列写电路方程。在列写电路方程的过程中，我们在直流电路中一贯熟练应用的基尔霍夫定律是适用于交流情况分析的。正弦交流情况下，基尔霍夫节点电流定律指出：在电路工作的瞬时，流进与流出节点的电流代数和等于零，数学形式即是对正弦函数的电流求和。基尔霍夫回路电压定律表述是：沿任意回路的电动势和电压的代数和等于零，对应数学形式就是对正弦函数的电动势和电压求和。
下面我们以一个简单的一阶电路为例，看一下正弦激励源作用下，电路的三角函数求解法求解电路的响应。
例题：在图1所示的RL并联电路中，理想电流源的源电流是正弦交流电流源[is（t）=Iscosωt]。开关合上的瞬间，电感中的初始电流值为I0，求解电路中当开关S合上时，电感支路中的电流iL（t）随时间变化的函数表达式。
<D：＼书＼排版＼速读·上旬201512＼速读排版12上定稿打包＼Image＼image3.png>
图2：RL 并联电路
解：在时域中分析这个电路方程，这个电路是并联电路，总电流为is（t）。
根据电感线圈的伏安特性方程，可知，电感两端的电压uL为：
[uL（t）=L?diL（t）dt]
因为电感L与电阻R并联，所以流过电阻的电流为：[iR（t）=uL（t）R]
根据基尔霍夫节点电流定律：电阻支路与电感支路的电流和等于电流源的源电流，所以我们列写出关于电感支路的电流方程：[iR（t）+iL（t）=is（t）]
即： [LR?ddtiL（t）+iL（t）=Iscos（ωt）] （1）
此方程属于一阶常系数非齐次线性微分方程，由数学基础不难得出，方程的解分两部分： 齐次解：[iCh（t）=Aest]
特解：[iCp（t）=Imcos（ωt+φ）]
所以，电路方程全解为： [iL（t）=iCh（t）+iCp（t）=Aest+Imcos（ωt+φ）]
其中，
（1）式特征方程的特征根：[s=-1τ=-1LR]
RL并联电路时间常数：[τ=LR]
因为是一阶微分方程，[iL（t）]解的表达式中，有一个待定系数A。它可由初始条件求出：
[iL（0+）=Imcosφ+A=I0]，所以：[A=I0-Imcosφ]
现在再来求解两个量：[Im]和[φ]，特解必须满足（1）式电路方程，将特解及其一阶导数代入电路方程得：
[-ωImsin（ωt+φ）+1τImcos（ωt+φ）=1τIscos（ωt）]
（2）对上式展开整理：[[-ωImsinφ+1τImcosφ]cosωt-] [[ωImcosφ+1τImsinφ]sinωt=1τIscos（ωt）]
上式对任意t都成立，所以得到方程组：[-ωImsinφ+1τImcosφ=1τIsωImcosφ+1τImsinφ=0] 所以：[φ=-arctan（ωτ）]，[Im=IS1+（ωτ）2]
最终得出电感线圈上电流随时间变化的函数：
[iL（t）=Imcos（ωt+φ）+（I0-Imcosφ）e-tτ] （3）
通过例题，我们可以看到，正弦激励下，线性电路的响应可以用数学上的线性非齐次微分方程来表示，因而其解也由两部分组成：一部分解是对应的非齐次方程的特解，比如式（3）右边第一项。这种解只决定于电源和电路的性质，与初始条件无关。根据高等数学的基础知识，可以归纳出特解的一般求解方法为：根据非齐次方程右端的函数类型去猜想特解的函数形式。对正弦稳态电路而言其特解是与激励源同频率的正弦函数，采用待定系数法可以确定特解的幅值与初相角，这个过程，我们在例题1中，通过求解[Im]和[φ]已经体会过了。电路分析中特解也称为稳态解。
另一部分解是对应的齐次方程的通解，对应（3）等式右边的第二项。它总包含由初始条件决定的系数，我们可以根据电路元件上的初始条件值，来确定通解中含有的各项待定系数，但其函数形式总是指数函数。这种解的形式，描述了电路自身的固有特性。在式（3）中，可以看到这个电路的固有特性以时间常数[τ]来表征。在一般的电路中，这种指数函数总是衰减指数函数，其弛豫时间可用[3τ]来量度。当经过[3τ]时间之后，此部分解的影响可以忽略不计，所以通解在电路分析中也称为暂态解。
从物理角度来看，暂态解（通解）表示电路刚接通电源而未到达稳定状态的过渡过程响应，正是因为暂态解的衰减指数函数形式，所以暂态解有其非常重要的特点：随着时间的推移，此部分解按指数规律衰减最终归于0。稳态解（特解）表示电路接通电源一定时间后，暂态响应的影响小到忽略不计的程度时，电路中的响应只剩下稳态解的工作状态。
补充说明一点：一个电路的过渡过程随时间按指数规律增长而不是衰减，这种类型的电路我们称之为不稳定电路。如果电路含有非独立源时，电感或电容端的戴维楠等效电阻可以是负的。这个负电阻产生一个负的时间常数，结果电流和电压无限制增长。在实际电路中，当元件毁坏或者进入到饱和状态时，过渡过程最后达到一个限定值，限制电压或电流的进一步增长。也就是说，在这类非线性电路中，对应电路的通解部分不能忽略。
三、相量法
（一）相量法解题依据
线性电路中，在正弦激励源作用下，当经过足够长的时间后，电路的暂态响应消失，电路的响应只含有稳态分量，这时电路的状态称为正弦稳态电路，简单也称作正弦交流电路。通过上面的例题也可以看出，从数学角度出发，解三角函数的高阶微分方程的过程是非常复杂的。针对线性稳定电路而言，直接忽略暂态解，而重点研究电路的稳态解，即直接求解正弦激励下电路方程的特解，则过程会变得简单得多。在很多实际的工程应用领域，也只需要人们考虑正弦交流电路的稳态解。正弦稳态电路相量法解题，正是出于对电路的这种处理手法。相量法解题，求解的正是正弦交流电路的稳态解。
根据线性电路的正弦响应方程特点，由高等数学中关于线性微分方程的基础知识，可以归纳出正弦稳态解的两个重要特征：
（1）当施加的激励是某一特定频率的正弦电量（正弦电压源，正弦电流源）时，电路的各支路电压、电流的稳态解是与激励源同频率的正弦量。（如果响应频率与信号源频率不同，则电路中含有非线性元件）
（2）正弦量稳态解的振幅一般与信号源幅度不相等，初相位也不同。
（二）相量法解题思路
正弦稳态电路中，正弦激励源（电压源、电流源）作用下，线性电路中待求支路中的稳态电流响应也是正弦函数形式，我们画出激励与电流响应的示意图（对于电压响应也是适用的），如图3所示：
<D：＼书＼排版＼速读·上旬201512＼速读排版12上定稿打包＼Image＼image26.png>
图3：实激励与实响应
现在将激励源函数的相角移位90度，或者说改变t=0时刻的定义，使得激励函数变为一个新的正弦激励源：
[Vmcos（ωt+θ-90o）=Vmsin（ωt+φ）] （4）
想象这个（4）式新的激励源，替换原激励源，加载到原线性网络的输入端，则在原线性网络的同样的支路上，产生的新的正弦稳态响应的形式应该是原正弦响应的基础上，同样的相移90度。所以，我们得到一个新的正弦稳态响应：
[Imcos（ωt+φ-90o）=Imsin（ωt+φ）] （5）
如果进行数学上的代数乘积处理，将新的激励源乘以虚数单位j，则根据前面讲述的线性电路的均匀性性质，得到同样支路上的正弦稳態响应应该在原响应的基础上乘以同样的系数j。新的激励源和响应的示意图如图（4）所示。
<D：＼书＼排版＼速读·上旬201512＼速读排版12上定稿打包＼Image＼image29.png>
图4：虚激励与虚响应
将图（3），图（4）中两部分的激励源叠加，构造出一个全新的复激励源，支路中的电流正弦稳态响应也变成了复响应。根据前面讲述的线性电路叠加性的结论：复激励源中实部激励对应产生实部响应，虚部激励对应产生虚部响应。利用欧拉公式，复激励产生复响应：
[Vmej（ωt+θ）?Imej（ωt+φ）]
将原来正弦稳态电路中的激励源及电路中的电压，电流，通过这种虚构的办法，统统变换成复数形式的激励源和复数形式的响应函数，就可以将原来需要求解的正弦激励下的非齐次线性微分方程变换成代数方程。通过求解代数方程，非常容易得到复响应函数的振幅与初相角，最后通过提取复响应中的实部，最终得到线性电路的正弦稳态解。 四、相量法解题
将相量法应用于前面的例题，从解RL并联电路中的支路稳态电流。
（1）电路模型复数化：负激励电流源[Is?=Isejωt]，原RL并联电路中，所有支路电流、节点之间的电压统统变成相应的复数形式（用字母上方的点代表复数量），在求解电路中复电压，复电流的过程中，原来直流线性电路中的定理，定律，都是适用于这里的瞬时电路的。
电感支路复电流：[IL?=Imej（ωt+φ）]
电感上的复电压：[UL?=LdIL?dt=jωL?IL?]
电阻支路的复电流：[IR?=UR?R=UL?R=jωL?IL?R]
（2）利用基尔霍夫节点电流定律，得到复数形式的代数方程：
[Is?=IR?+IL?]
所以得到复数代数方程：[Isejωt=Imej（ωt+φ）+ωImLRej（ωt+φ+90o）] （6）
利用数学里的复数知识及欧拉公式，列写出实部等式方程：
[IScosωt=Imcos（ωt+φ）+ωImLRcos（ωt+φ+90o）] （7）
不难发现，利用复数代数方程，得到的最终的三角函数形式的等式（7）与前面用三角函数法求解微分方程得到的等式（2）是一模一样的。但是同样的求解，这里避免了求解电路的微分方程，意义在于高次微分方程的求解，相量法更加简单。在得到等式（6）之后，可以用数学里的矢量数学知识，来求解等式（6），进而得到电路中电流的振幅以及初相位[Im]和[φ]。
五、总结
最后总结一下相量法的几个问题：
（1）相量法求解电路稳态响应的方法适合任意线性电路。
（2）电路的相量模型只适用于输入为同频率的正弦量的穩态电路中。
（3）当处理包含具有不同工作频率的电源电路时，可以利用线性电路的叠加性。在解决不同频率电源激励时，无法计算电路中任何电感或电容的阻抗，因为不知道用哪个[ω]。解决问题的唯一方法是应用叠加定理，将所有具有相同频率的电源放在一个子电路中。
（4）数学上，一个任意函数可以用傅里叶方法，表示成一系列正弦激励的组合，当然这里的正弦激励源角频率都是不同的，对线性电路，当知道电路对一般正弦激励函数的响应时，利用级数，叠加定理，可以求出电路对任意激励的稳态响应。
（5）相量法解题时，要区分正弦函数相量与余弦函数相量。在进行电路分析时，必须是相同函数的相量。如果电路中有正弦函数和余弦函数电量时，必须转换为同一种函数形式，才可以进行分析计算。
参考文献：
[1]《工程电路分析》（第八版）.周玲玲、蒋天乐译.电子工业出版社，2012.9
[2]《电路》（第九版）.周玉坤.冼立勤等译.电子工业出版社，2012.2
[3]《电路基础》（英文版 第五版）.Charles K.Alexander， Matthew N.O.Sadiku 著，机械工业出版社，2013.2
[4]《电路理论教程》.陈希有主编.高等教育出版社，2013.8
[5]《电路原理》（第2版）.吴建华.李华等编著.机械工业出版社，2013.8
[6]《二阶以上电路在正弦激励下的完全响应求解方法》.井陉局.谢生亮.《河北煤炭》，1993年第4期
[7]《线性电路的分析方法》.龙际磊.《电脑知识与技术》，2014.8
[8]《相量与正弦稳态分析》.鲁义宽.《无线互联科技》，2015.5
[9]《正弦交流电路稳态分析》.唐红.《科技信息》，2013.8
[10]《正弦稳态电路的分析为何选择复数法》.张立新.《哈尔滨师范大学自然科学学报》，2015.4
[11]《时城中线性电路对常见激励的全响应》.唐模弟.《贵州工学院学报》，1987.12
无锡城市职业技术学院物联网工程学院院级课题“正弦交流电相量阀的数学解释”。
正弦交流电是人类智慧的创造发明，现实生活中，大型电站发电、传输、供电以及耗电基本都是发生在正弦稳态的条件下;其次，掌握正弦电路的行为是分析非正弦电路的前提，再次，正弦稳态可以简化电力系统的设计，在很多场合下，设计师首先设计出吻合正弦交流电要求的电力设备，而后，此设备对于非正弦交流电通常也会有令人满意的响应结果。
在研究电路对正弦交流电的响应时，首先明确电路的研究范围，我们这里的电路是线性电路，所以有必要对线性电路的概念进行简单讲述。
一、線性电路
线性电路是指完全由线性时不变无源元件、独立源或线性受控源构成的电路。线性就是指输入和输出之间关系可以用线性函数表示，从而使之与非线性区分开来。
线性电路最基本的特性应该是它具有叠加性与均匀性。叠加性与均匀性的含义可以用图1来说明。
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图1：线性电路示意图
图1电路中，x表示加在电路上的输入信号，即激励;y表示电路对该输入信号产生的输出，即响应。
叠加性的含义：若激励x1产生的响应为y1，激励x2产生的响应为y2，则当x1和x2共同作用于电路时产生的响应为y1+y2。
均匀性的含义：若激励x作用于电路产生的响应为y，则激励kx作用于电路产生的响应必为ky。也就是说，线性电路对于各个激励共同作用的响应是各个激励的叠加。
二、正弦激励下的三角函数法解题
研究正弦信号激励下，线性电路的响应时，我们需要借助数学上的三角函数，对电路的激励电压源，电流源进行三角函数表示。再运用线性电路中三类元件R，L，C元件的VCR关系，列写电路方程。在列写电路方程的过程中，我们在直流电路中一贯熟练应用的基尔霍夫定律是适用于交流情况分析的。正弦交流情况下，基尔霍夫节点电流定律指出：在电路工作的瞬时，流进与流出节点的电流代数和等于零，数学形式即是对正弦函数的电流求和。基尔霍夫回路电压定律表述是：沿任意回路的电动势和电压的代数和等于零，对应数学形式就是对正弦函数的电动势和电压求和。
下面我们以一个简单的一阶电路为例，看一下正弦激励源作用下，电路的三角函数求解法求解电路的响应。
例题：在图1所示的RL并联电路中，理想电流源的源电流是正弦交流电流源[is（t）=Iscosωt]。开关合上的瞬间，电感中的初始电流值为I0，求解电路中当开关S合上时，电感支路中的电流iL（t）随时间变化的函数表达式。
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图2：RL 并联电路
解：在时域中分析这个电路方程，这个电路是并联电路，总电流为is（t）。
根据电感线圈的伏安特性方程，可知，电感两端的电压uL为：
[uL（t）=L?diL（t）dt]
因为电感L与电阻R并联，所以流过电阻的电流为：[iR（t）=uL（t）R]
根据基尔霍夫节点电流定律：电阻支路与电感支路的电流和等于电流源的源电流，所以我们列写出关于电感支路的电流方程：[iR（t）+iL（t）=is（t）]
即： [LR?ddtiL（t）+iL（t）=Iscos（ωt）] （1）
此方程属于一阶常系数非齐次线性微分方程，由数学基础不难得出，方程的解分两部分： 齐次解：[iCh（t）=Aest]
特解：[iCp（t）=Imcos（ωt+φ）]
所以，电路方程全解为： [iL（t）=iCh（t）+iCp（t）=Aest+Imcos（ωt+φ）]
其中，
（1）式特征方程的特征根：[s=-1τ=-1LR]
RL并联电路时间常数：[τ=LR]
因为是一阶微分方程，[iL（t）]解的表达式中，有一个待定系数A。它可由初始条件求出：
[iL（0+）=Imcosφ+A=I0]，所以：[A=I0-Imcosφ]
现在再来求解两个量：[Im]和[φ]，特解必须满足（1）式电路方程，将特解及其一阶导数代入电路方程得：
[-ωImsin（ωt+φ）+1τImcos（ωt+φ）=1τIscos（ωt）]
（2）对上式展开整理：[[-ωImsinφ+1τImcosφ]cosωt-] [[ωImcosφ+1τImsinφ]sinωt=1τIscos（ωt）]
上式对任意t都成立，所以得到方程组：[-ωImsinφ+1τImcosφ=1τIsωImcosφ+1τImsinφ=0] 所以：[φ=-arctan（ωτ）]，[Im=IS1+（ωτ）2]
最终得出电感线圈上电流随时间变化的函数：
[iL（t）=Imcos（ωt+φ）+（I0-Imcosφ）e-tτ] （3）
通过例题，我们可以看到，正弦激励下，线性电路的响应可以用数学上的线性非齐次微分方程来表示，因而其解也由两部分组成：一部分解是对应的非齐次方程的特解，比如式（3）右边第一项。这种解只决定于电源和电路的性质，与初始条件无关。根据高等数学的基础知识，可以归纳出特解的一般求解方法为：根据非齐次方程右端的函数类型去猜想特解的函数形式。对正弦稳态电路而言其特解是与激励源同频率的正弦函数，采用待定系数法可以确定特解的幅值与初相角，这个过程，我们在例题1中，通过求解[Im]和[φ]已经体会过了。电路分析中特解也称为稳态解。
另一部分解是对应的齐次方程的通解，对应（3）等式右边的第二项。它总包含由初始条件决定的系数，我们可以根据电路元件上的初始条件值，来确定通解中含有的各项待定系数，但其函数形式总是指数函数。这种解的形式，描述了电路自身的固有特性。在式（3）中，可以看到这个电路的固有特性以时间常数[τ]来表征。在一般的电路中，这种指数函数总是衰减指数函数，其弛豫时间可用[3τ]来量度。当经过[3τ]时间之后，此部分解的影响可以忽略不计，所以通解在电路分析中也称为暂态解。
从物理角度来看，暂态解（通解）表示电路刚接通电源而未到达稳定状态的过渡过程响应，正是因为暂态解的衰减指数函数形式，所以暂态解有其非常重要的特点：随着时间的推移，此部分解按指数规律衰减最终归于0。稳态解（特解）表示电路接通电源一定时间后，暂态响应的影响小到忽略不计的程度时，电路中的响应只剩下稳态解的工作状态。
补充说明一点：一个电路的过渡过程随时间按指数规律增长而不是衰减，这种类型的电路我们称之为不稳定电路。如果电路含有非独立源时，电感或电容端的戴维楠等效电阻可以是负的。这个负电阻产生一个负的时间常数，结果电流和电压无限制增长。在实际电路中，当元件毁坏或者进入到饱和状态时，过渡过程最后达到一个限定值，限制电压或电流的进一步增长。也就是说，在这类非线性电路中，对应电路的通解部分不能忽略。
三、相量法
（一）相量法解题依据
线性电路中，在正弦激励源作用下，当经过足够长的时间后，电路的暂态响应消失，电路的响应只含有稳态分量，这时电路的状态称为正弦稳态电路，简单也称作正弦交流电路。通过上面的例题也可以看出，从数学角度出发，解三角函数的高阶微分方程的过程是非常复杂的。针对线性稳定电路而言，直接忽略暂态解，而重点研究电路的稳态解，即直接求解正弦激励下电路方程的特解，则过程会变得简单得多。在很多实际的工程应用领域，也只需要人们考虑正弦交流电路的稳态解。正弦稳态电路相量法解题，正是出于对电路的这种处理手法。相量法解题，求解的正是正弦交流电路的稳态解。
根据线性电路的正弦响应方程特点，由高等数学中关于线性微分方程的基础知识，可以归纳出正弦稳态解的两个重要特征：
（1）当施加的激励是某一特定频率的正弦电量（正弦电压源，正弦电流源）时，电路的各支路电压、电流的稳态解是与激励源同频率的正弦量。（如果响应频率与信号源频率不同，则电路中含有非线性元件）
（2）正弦量稳态解的振幅一般与信号源幅度不相等，初相位也不同。
（二）相量法解题思路
正弦稳态电路中，正弦激励源（电压源、电流源）作用下，线性电路中待求支路中的稳态电流响应也是正弦函数形式，我们画出激励与电流响应的示意图（对于电压响应也是适用的），如图3所示：
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图3：实激励与实响应
现在将激励源函数的相角移位90度，或者说改变t=0时刻的定义，使得激励函数变为一个新的正弦激励源：
[Vmcos（ωt+θ-90o）=Vmsin（ωt+φ）] （4）
想象这个（4）式新的激励源，替换原激励源，加载到原线性网络的输入端，则在原线性网络的同样的支路上，产生的新的正弦稳态响应的形式应该是原正弦响应的基础上，同样的相移90度。所以，我们得到一个新的正弦稳态响应：
[Imcos（ωt+φ-90o）=Imsin（ωt+φ）] （5）
如果进行数学上的代数乘积处理，将新的激励源乘以虚数单位j，则根据前面讲述的线性电路的均匀性性质，得到同样支路上的正弦稳態响应应该在原响应的基础上乘以同样的系数j。新的激励源和响应的示意图如图（4）所示。
<D：＼书＼排版＼速读·上旬201512＼速读排版12上定稿打包＼Image＼image29.png>
图4：虚激励与虚响应
将图（3），图（4）中两部分的激励源叠加，构造出一个全新的复激励源，支路中的电流正弦稳态响应也变成了复响应。根据前面讲述的线性电路叠加性的结论：复激励源中实部激励对应产生实部响应，虚部激励对应产生虚部响应。利用欧拉公式，复激励产生复响应：
[Vmej（ωt+θ）?Imej（ωt+φ）]
将原来正弦稳态电路中的激励源及电路中的电压，电流，通过这种虚构的办法，统统变换成复数形式的激励源和复数形式的响应函数，就可以将原来需要求解的正弦激励下的非齐次线性微分方程变换成代数方程。通过求解代数方程，非常容易得到复响应函数的振幅与初相角，最后通过提取复响应中的实部，最终得到线性电路的正弦稳态解。 四、相量法解题
将相量法应用于前面的例题，从解RL并联电路中的支路稳态电流。
（1）电路模型复数化：负激励电流源[Is?=Isejωt]，原RL并联电路中，所有支路电流、节点之间的电压统统变成相应的复数形式（用字母上方的点代表复数量），在求解电路中复电压，复电流的过程中，原来直流线性电路中的定理，定律，都是适用于这里的瞬时电路的。
电感支路复电流：[IL?=Imej（ωt+φ）]
电感上的复电压：[UL?=LdIL?dt=jωL?IL?]
电阻支路的复电流：[IR?=UR?R=UL?R=jωL?IL?R]
（2）利用基尔霍夫节点电流定律，得到复数形式的代数方程：
[Is?=IR?+IL?]
所以得到复数代数方程：[Isejωt=Imej（ωt+φ）+ωImLRej（ωt+φ+90o）] （6）
利用数学里的复数知识及欧拉公式，列写出实部等式方程：
[IScosωt=Imcos（ωt+φ）+ωImLRcos（ωt+φ+90o）] （7）
不难发现，利用复数代数方程，得到的最终的三角函数形式的等式（7）与前面用三角函数法求解微分方程得到的等式（2）是一模一样的。但是同样的求解，这里避免了求解电路的微分方程，意义在于高次微分方程的求解，相量法更加简单。在得到等式（6）之后，可以用数学里的矢量数学知识，来求解等式（6），进而得到电路中电流的振幅以及初相位[Im]和[φ]。
五、总结
最后总结一下相量法的几个问题：
（1）相量法求解电路稳态响应的方法适合任意线性电路。
（2）电路的相量模型只适用于输入为同频率的正弦量的穩态电路中。
（3）当处理包含具有不同工作频率的电源电路时，可以利用线性电路的叠加性。在解决不同频率电源激励时，无法计算电路中任何电感或电容的阻抗，因为不知道用哪个[ω]。解决问题的唯一方法是应用叠加定理，将所有具有相同频率的电源放在一个子电路中。
（4）数学上，一个任意函数可以用傅里叶方法，表示成一系列正弦激励的组合，当然这里的正弦激励源角频率都是不同的，对线性电路，当知道电路对一般正弦激励函数的响应时，利用级数，叠加定理，可以求出电路对任意激励的稳态响应。
（5）相量法解题时，要区分正弦函数相量与余弦函数相量。在进行电路分析时，必须是相同函数的相量。如果电路中有正弦函数和余弦函数电量时，必须转换为同一种函数形式，才可以进行分析计算。
参考文献：
[1]《工程电路分析》（第八版）.周玲玲、蒋天乐译.电子工业出版社，2012.9
[2]《电路》（第九版）.周玉坤.冼立勤等译.电子工业出版社，2012.2
[3]《电路基础》（英文版 第五版）.Charles K.Alexander， Matthew N.O.Sadiku 著，机械工业出版社，2013.2
[4]《电路理论教程》.陈希有主编.高等教育出版社，2013.8
[5]《电路原理》（第2版）.吴建华.李华等编著.机械工业出版社，2013.8
[6]《二阶以上电路在正弦激励下的完全响应求解方法》.井陉局.谢生亮.《河北煤炭》，1993年第4期
[7]《线性电路的分析方法》.龙际磊.《电脑知识与技术》，2014.8
[8]《相量与正弦稳态分析》.鲁义宽.《无线互联科技》，2015.5
[9]《正弦交流电路稳态分析》.唐红.《科技信息》，2013.8
[10]《正弦稳态电路的分析为何选择复数法》.张立新.《哈尔滨师范大学自然科学学报》，2015.4
[11]《时城中线性电路对常见激励的全响应》.唐模弟.《贵州工学院学报》，1987.12
无锡城市职业技术学院物联网工程学院院级课题“正弦交流电相量阀的数学解释”。