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[摘 要] 上好一轮复习课,对学生系统地学好数学,发展思维能力,适应选拔性考试的需要的重要性大家都是很清楚的. 真正上好复习课并不是轻而易举的事,复习课要尽量使学生感到有收获、有乐趣、不枯燥乏味. 如果不精心安排,不精心设计,就达不到预期的效果.
[关键词] 发散思维;小题大做
高考一轮复习是目前数学教学中很重要的一部分. 很多教师都认为复习课不好上,效率低,平时一贯的做法是:复习基本知识与方法,例题精讲,课后练习巩固.实际上,基础复习往往流于形式,大量的时间、精力浪费在解题上,基础复习与解题教学“油水分离”,呈现的是“题海战术”,一味地让学生练习,造成一种“烫剩饭”的感觉.
基础不扎实,复习就是无源之水、无本之木. 如何很好地复习基础呢?知识的理解在于联系,理解的深度在于应用. 基础复习与解题分离学生可能无兴趣、不刺激,所以要注意两者的有机融合,要注重选好“点”,然后从点到线,由线及面,做到以一点串一线、连一面;注意知识间纵横间的联系和比较,构建知识网络,在帮助学生理清知识脉络时,可根据复习内容和教学信息容量的多少,分项、分步进行整理,将所学知识前后融会贯通,做好“小题大做”的文章.
案例:已知α∈R,sinα 2cosα=,则tan2α=( )(2013年浙江高考理科第6题)
A. B.
C.- D. -
看到这道高考题后,有似曾相识的感觉,直觉想到它应该改编于sinα±cosα与sinαcosα这组关系式.首先,将题目难度降低,改编为:
若α为三角形的内角,且sinα cosα= -,求tanα的值.
在传授新课时,往往受一些条件的限制,不能彻底地展开讲解,而在复习课中则刚好可以弥补这一缺陷. 三角函数求值问题是三角函数问题的重要类型之一,此题可以从不同角度和不同层面展开分析讨论.
[?] 常规消元,殊途同归
因为tanα=,所以要求出tanα的值,基本思路是先求sinα,cosα的值,消元是基本方法,引导学生利用“sin2α cos2α=1”进行求解.
解法一:联立方程组
由条件可得sinα=--cosα,代入sin2α cos2α=1中可得cos2α ·cosα-=0.
所以cosα=或 -.
当cosα=时,sinα=-,则tanα=-3;
当cosα=-时,sinα=,则tanα=-.
考虑到α为三角形的一个内角,则sinα>0,所以tanα=-.
解法一的总结与反思:解法一直接利用同角三角函数的基本关系式,消去sinα的实质是三角函数求值问题中“消除三角函数名称差异”的变换方法,同时利用构建方程组的思想使问题得以解决.只是在方程组求解过程中两边平方,这可能产生增根,必须检验,于是提出问题“在求解之前,能否先确定tanα的符号呢”.
变式题1:若sinα cosα=,α为三角形内角,判断三角形的形状.
要解决这个问题在于,可以对角α的范围进行讨论.利用三角函数线的知识来确定α的范围,借此复习三角函数线的知识.
单位圆中(如图1所示):
当α为第一象限角时,由sinα cosα=MP OM>OP,可知sinα cosα>1.
当α为第二象限角时,由sinα cosα= MP-OM 由此可判定α为钝角,三角形为钝角三角形.
解法二:平方策略
利用“sin2α cos2α=1”这一平方关系式,
可以将sinα cosα=-两边平方得1 2sinαcosα=,
即2sinαcosα=-<0.
又α∈
,π
,则sinα>0,cosα<0.
又因为1-2sinαcosα=(sinα-cosα)2=,所以sinα-cosα=.
与sinα cosα=-联立,可得sinα=,cosα=-,则有tanα= -.
解法二的总结与反思:在三角函数的变换求值中,已知sinα cosα或sinαcosα中的一个,可利用方程的思想求出另外两个式子的值.此解法虽然过程复杂,但“平方策略”属于常见的解题方法,思路清晰,步骤清楚,是最容易在直觉中产生的解法. 解法二适时地对角的范围进行讨论,这充分体现了“函数问题,范围先行”的解题原则.
變式题2:求y=sinα cosα sinαcosα的范围.
利用解法二的思路,变式题中只要令sinα cosα=t,则有sinαcosα=,换元可得y=t ,再通过配方,问题马上迎刃而解. 解法二的实质是希望通过求解sinα,cosα,再利用tanα=,进而求得tanα的值.我们可以联系二次函数韦达定理得出下面的解法.
解法三:
sinαcosα=-,sinα cosα=-.
易知sinα,cosα为方程x2 x-=0的两实根x1=,x2=-.
由sinα>0,cosα<0可得sinα=,cosα=-,从而tanα=-.
解法四:
因为sinα cosα=-,构造式子cosα-sinα=A.
两式分别平方相加可得A2=.
由cosα<0,sinα>0,则有cosα-sinα= -.
于是联立上式与已知式子可轻松求得sinα=,cosα=-.
于是tanα= -.
有时候“无中生有”使题目多出一个条件,也不失为一种好的解题思路. 在数学解题过程中,合理地构造形式相似,具有某种对称关系的式子,通过适当的运算,往往能使问题得到巧妙的解决,收到事半功倍的效果. [?] 透过现象,看透本质
三角函数的求值问题,主要借助于消除三个方面的差异进行解答,即消除三角函数名称差异或者式子结构差异或者角度之间的差异.而在此题中,角度已经统一了,如果我们能直接将条件中的sinα,cosα转变为tanα,将是解决这个问题的最直接、最有效的方法.
解法五:
利用sin2α cos2α=1这一平方关系可求得(sinα cosα)2=(sin2α cos2α),
可得3tan2α 10tan2α 3=0,即(tanα 3)(3tanα 1)=0,
即tanα=-3或tanα=-.
当tanα=-3时,sinα=,cosα= -,
这与sinα cosα=-矛盾,所以tanα= -.
解法六:
设tanα=a,则有sinα=acosα,联立sinα cosα=-,
则sinα=-,cosα= -.
代入sin2α cos2α=1中,
可得3a2 10a 3=0,于是a=-3或-.经检验,a=-3舍去.
解法五利用常数代换的思想将“1”换成“sin2α cos2α”,再根据齐次式的特征,直接求得了tanα的值. 解法六的本质是通过换元使得问题得到简化,同时体现了解题中常用的“求什么,设什么”的思想方法.
[?] 回归定义,追本溯源
以上所有的解法都用到了三角函数的基本关系式,其实三角函数的基本关系式是由定义推导得出的,定义是一切问题的根本.
解法七:
设P(a,b)为角α终边上任意一点,P到原点O的距离为r,则r=,sinα=,cosα=,代入已知式子中有 = -.
两边平方得(a b)2=(a2 b2),化简可得3a2 10ab 3b2=0.
即(3a b)(a 3b)=0. 经检验,tanα= -3舍去,则tanα=-.
利用三角函数的定义解题是比较容易忽视的方法,应充分认识定义的解题价值,回归定义,经常会有特别的收获.解题是不断尝试的过程,需要信心和敢想敢做的勇气,很多巧妙的解题方法都来源于大胆的想法,始终要相信题目都是从定义“编”出来的.
[?] 因时而异,顺势而导
结合2013年这道高考题,将题目改为选择题:
若α为三角形的内角,sinα cosα= -,则tanα等于( )
A. - B. -3
C. D. 3
将题目变为选择题后,可以从选择支的角度重新分析这个题目. 我们经常会说,选择题不要“小题大做”,做选择题要灵活多变,可以采用排除法、特殊值法、转化法等多种方式求解. 观察分析和联想能力在解题能力中有很重要的地位,联想有关的公式和常见变形,sinα cosα的常见变形还有:sinα cosα=sin
α
. 于是,对已知条件进行适当变形, 进而求出α所在区间,再利用三角函数性质求解.
解法八:
由sinα cosα=sin
α
= -,
得到sin
α
=-<0.
从而π<α <π,即<α<π.
又y=tanα在
π,π
上递增,所以 -1 解法九:利用排除法求解
由上面的解法可得α是钝角,又sinα cosα<0,则
sinα
<
cosα
,从而
tanα
<1,则tanα=-,答案为A.
解法九的收获:学习数学,要培训对数据的敏感性,能根据数据特征进行积极联想,进而适当地猜想和论证,这样能有效地提高解题速度. 我们从多个角度分析同一问题,就会得到多种解法.这样在能力提到提高的同时,同学们的成就感也会随着每做出一道题而增强,并且在解答题目的不同途径中,学习数学的兴趣也会越来越浓.
解法十:由sinα cosα=-容易联想到sinα与cosα的一对数据:与-.
当sinα=,cosα=-时,可以满足题设要求,则tanα=-.
再回到2013年的高考题:
已知α∈R,sinα 2cosα=,则tan2α等于( )
A. B.
C. - D. -
以上这些解法都适合这道高考题,但观察到高考题与改编例题最大的区别在于所求结果不同,根据已知条件与所求结果中角的关系不统一,解决这个高考选择题的最佳方法是通过公式统一角度.
由已知可得(sinα 2cosα)2=,化简得到sin2α 4sinαcosα 4cos2α=. 于是2sin2α 3cos2α=,则有2sin2α cos2α=0,所以tan2α=-.
以小题大做、一题多解的形式上复习课,就是在数学复习中把一些小题作为范例,利用它起点低、入手易的特点,在这些题上大做文章,或变换它的角度,或把它引申、拓展、变式等,以便深化学生对基础知识的理解,完善学生的知识结构,培养学生思维的广阔性. 這样,学生脑海中储存的大量信息就会被充分地调动起来,从一道题中找出不同的切入点和突破点,运用不同的数学方法求解.通过这样一题的讲解练习,学生能够解决相关的一系列问题.如果说新授课是“画龙”,复习课则是“点睛”,达到温故知新、提高能力的目的. 复习课切实有效,就要同时兼顾不同层次的学生,使每一位学生都学有所得.
[关键词] 发散思维;小题大做
高考一轮复习是目前数学教学中很重要的一部分. 很多教师都认为复习课不好上,效率低,平时一贯的做法是:复习基本知识与方法,例题精讲,课后练习巩固.实际上,基础复习往往流于形式,大量的时间、精力浪费在解题上,基础复习与解题教学“油水分离”,呈现的是“题海战术”,一味地让学生练习,造成一种“烫剩饭”的感觉.
基础不扎实,复习就是无源之水、无本之木. 如何很好地复习基础呢?知识的理解在于联系,理解的深度在于应用. 基础复习与解题分离学生可能无兴趣、不刺激,所以要注意两者的有机融合,要注重选好“点”,然后从点到线,由线及面,做到以一点串一线、连一面;注意知识间纵横间的联系和比较,构建知识网络,在帮助学生理清知识脉络时,可根据复习内容和教学信息容量的多少,分项、分步进行整理,将所学知识前后融会贯通,做好“小题大做”的文章.
案例:已知α∈R,sinα 2cosα=,则tan2α=( )(2013年浙江高考理科第6题)
A. B.
C.- D. -
看到这道高考题后,有似曾相识的感觉,直觉想到它应该改编于sinα±cosα与sinαcosα这组关系式.首先,将题目难度降低,改编为:
若α为三角形的内角,且sinα cosα= -,求tanα的值.
在传授新课时,往往受一些条件的限制,不能彻底地展开讲解,而在复习课中则刚好可以弥补这一缺陷. 三角函数求值问题是三角函数问题的重要类型之一,此题可以从不同角度和不同层面展开分析讨论.
[?] 常规消元,殊途同归
因为tanα=,所以要求出tanα的值,基本思路是先求sinα,cosα的值,消元是基本方法,引导学生利用“sin2α cos2α=1”进行求解.
解法一:联立方程组
由条件可得sinα=--cosα,代入sin2α cos2α=1中可得cos2α ·cosα-=0.
所以cosα=或 -.
当cosα=时,sinα=-,则tanα=-3;
当cosα=-时,sinα=,则tanα=-.
考虑到α为三角形的一个内角,则sinα>0,所以tanα=-.
解法一的总结与反思:解法一直接利用同角三角函数的基本关系式,消去sinα的实质是三角函数求值问题中“消除三角函数名称差异”的变换方法,同时利用构建方程组的思想使问题得以解决.只是在方程组求解过程中两边平方,这可能产生增根,必须检验,于是提出问题“在求解之前,能否先确定tanα的符号呢”.
变式题1:若sinα cosα=,α为三角形内角,判断三角形的形状.
要解决这个问题在于,可以对角α的范围进行讨论.利用三角函数线的知识来确定α的范围,借此复习三角函数线的知识.
单位圆中(如图1所示):
当α为第一象限角时,由sinα cosα=MP OM>OP,可知sinα cosα>1.
当α为第二象限角时,由sinα cosα= MP-OM
解法二:平方策略
利用“sin2α cos2α=1”这一平方关系式,
可以将sinα cosα=-两边平方得1 2sinαcosα=,
即2sinαcosα=-<0.
又α∈
,π
,则sinα>0,cosα<0.
又因为1-2sinαcosα=(sinα-cosα)2=,所以sinα-cosα=.
与sinα cosα=-联立,可得sinα=,cosα=-,则有tanα= -.
解法二的总结与反思:在三角函数的变换求值中,已知sinα cosα或sinαcosα中的一个,可利用方程的思想求出另外两个式子的值.此解法虽然过程复杂,但“平方策略”属于常见的解题方法,思路清晰,步骤清楚,是最容易在直觉中产生的解法. 解法二适时地对角的范围进行讨论,这充分体现了“函数问题,范围先行”的解题原则.
變式题2:求y=sinα cosα sinαcosα的范围.
利用解法二的思路,变式题中只要令sinα cosα=t,则有sinαcosα=,换元可得y=t ,再通过配方,问题马上迎刃而解. 解法二的实质是希望通过求解sinα,cosα,再利用tanα=,进而求得tanα的值.我们可以联系二次函数韦达定理得出下面的解法.
解法三:
sinαcosα=-,sinα cosα=-.
易知sinα,cosα为方程x2 x-=0的两实根x1=,x2=-.
由sinα>0,cosα<0可得sinα=,cosα=-,从而tanα=-.
解法四:
因为sinα cosα=-,构造式子cosα-sinα=A.
两式分别平方相加可得A2=.
由cosα<0,sinα>0,则有cosα-sinα= -.
于是联立上式与已知式子可轻松求得sinα=,cosα=-.
于是tanα= -.
有时候“无中生有”使题目多出一个条件,也不失为一种好的解题思路. 在数学解题过程中,合理地构造形式相似,具有某种对称关系的式子,通过适当的运算,往往能使问题得到巧妙的解决,收到事半功倍的效果. [?] 透过现象,看透本质
三角函数的求值问题,主要借助于消除三个方面的差异进行解答,即消除三角函数名称差异或者式子结构差异或者角度之间的差异.而在此题中,角度已经统一了,如果我们能直接将条件中的sinα,cosα转变为tanα,将是解决这个问题的最直接、最有效的方法.
解法五:
利用sin2α cos2α=1这一平方关系可求得(sinα cosα)2=(sin2α cos2α),
可得3tan2α 10tan2α 3=0,即(tanα 3)(3tanα 1)=0,
即tanα=-3或tanα=-.
当tanα=-3时,sinα=,cosα= -,
这与sinα cosα=-矛盾,所以tanα= -.
解法六:
设tanα=a,则有sinα=acosα,联立sinα cosα=-,
则sinα=-,cosα= -.
代入sin2α cos2α=1中,
可得3a2 10a 3=0,于是a=-3或-.经检验,a=-3舍去.
解法五利用常数代换的思想将“1”换成“sin2α cos2α”,再根据齐次式的特征,直接求得了tanα的值. 解法六的本质是通过换元使得问题得到简化,同时体现了解题中常用的“求什么,设什么”的思想方法.
[?] 回归定义,追本溯源
以上所有的解法都用到了三角函数的基本关系式,其实三角函数的基本关系式是由定义推导得出的,定义是一切问题的根本.
解法七:
设P(a,b)为角α终边上任意一点,P到原点O的距离为r,则r=,sinα=,cosα=,代入已知式子中有 = -.
两边平方得(a b)2=(a2 b2),化简可得3a2 10ab 3b2=0.
即(3a b)(a 3b)=0. 经检验,tanα= -3舍去,则tanα=-.
利用三角函数的定义解题是比较容易忽视的方法,应充分认识定义的解题价值,回归定义,经常会有特别的收获.解题是不断尝试的过程,需要信心和敢想敢做的勇气,很多巧妙的解题方法都来源于大胆的想法,始终要相信题目都是从定义“编”出来的.
[?] 因时而异,顺势而导
结合2013年这道高考题,将题目改为选择题:
若α为三角形的内角,sinα cosα= -,则tanα等于( )
A. - B. -3
C. D. 3
将题目变为选择题后,可以从选择支的角度重新分析这个题目. 我们经常会说,选择题不要“小题大做”,做选择题要灵活多变,可以采用排除法、特殊值法、转化法等多种方式求解. 观察分析和联想能力在解题能力中有很重要的地位,联想有关的公式和常见变形,sinα cosα的常见变形还有:sinα cosα=sin
α
. 于是,对已知条件进行适当变形, 进而求出α所在区间,再利用三角函数性质求解.
解法八:
由sinα cosα=sin
α
= -,
得到sin
α
=-<0.
从而π<α <π,即<α<π.
又y=tanα在
π,π
上递增,所以 -1
由上面的解法可得α是钝角,又sinα cosα<0,则
sinα
<
cosα
,从而
tanα
<1,则tanα=-,答案为A.
解法九的收获:学习数学,要培训对数据的敏感性,能根据数据特征进行积极联想,进而适当地猜想和论证,这样能有效地提高解题速度. 我们从多个角度分析同一问题,就会得到多种解法.这样在能力提到提高的同时,同学们的成就感也会随着每做出一道题而增强,并且在解答题目的不同途径中,学习数学的兴趣也会越来越浓.
解法十:由sinα cosα=-容易联想到sinα与cosα的一对数据:与-.
当sinα=,cosα=-时,可以满足题设要求,则tanα=-.
再回到2013年的高考题:
已知α∈R,sinα 2cosα=,则tan2α等于( )
A. B.
C. - D. -
以上这些解法都适合这道高考题,但观察到高考题与改编例题最大的区别在于所求结果不同,根据已知条件与所求结果中角的关系不统一,解决这个高考选择题的最佳方法是通过公式统一角度.
由已知可得(sinα 2cosα)2=,化简得到sin2α 4sinαcosα 4cos2α=. 于是2sin2α 3cos2α=,则有2sin2α cos2α=0,所以tan2α=-.
以小题大做、一题多解的形式上复习课,就是在数学复习中把一些小题作为范例,利用它起点低、入手易的特点,在这些题上大做文章,或变换它的角度,或把它引申、拓展、变式等,以便深化学生对基础知识的理解,完善学生的知识结构,培养学生思维的广阔性. 這样,学生脑海中储存的大量信息就会被充分地调动起来,从一道题中找出不同的切入点和突破点,运用不同的数学方法求解.通过这样一题的讲解练习,学生能够解决相关的一系列问题.如果说新授课是“画龙”,复习课则是“点睛”,达到温故知新、提高能力的目的. 复习课切实有效,就要同时兼顾不同层次的学生,使每一位学生都学有所得.