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摘 要： 针对材料力学中杆系超静定结构教学问题，提出了基于有限元软件ANSYS的辅助教学计算方法。首先介绍了杆系超静定结构常用的有限元单元和使用特点；然后提出了基于有限元法和材料力学中力法求解的两种超静定结构的ANSYS建模和求解方法；最后通过算例，验证了两种方法的有效性，并指出了提出的两种求解方法在辅助教学中的特点。
关键词： 材料力学 杆系超静定 ANSYS有限元软件 单元
一、引言
材料力学教学中，杆系超静定问题是教学难点之一。通常课堂主要介绍力法求解，具体步骤是首先定义一个静定基，然后建立相应的变形协调条件作为补充方程，最后求解出全部未知内力和支座反力[1]，[2]。由于该求解方法建立基础静定结构的不唯一性，计算复杂且计算量较大，因此学生不易掌握。针对材料力学教学难点，很多学者进行了研究，并提出了解决方案。如李银山提出采用符号推导软件Maple的材料力学教学方法[3]，该方法虽然解决了静力方程与变形协调方程的联立求解问题，但由于不能画出结构的变形与内力图，因此仍然不利于学生直观理解。值得注意的是，利用有限元软件ANSYS求解材料力学问题的方法[4]，具有简便易学特点，是求解材料力学问题一种较好工具。但是目前还没有针对基于ANSYS杆系超静定教学问题的建模求解方面的具体方法评论，下面将就此问题进行常用单元使用、建模求解分析的讨论。
二、杆系超静定结构的常用单元
在求解杆系超静定问题中，常用的ANSYS单元有杆、梁、平面及三维实体单元等。下面将根据简单、易于使用的原则分别进行介绍：
LINK180，是一个定义在三维空间的二力杆单元，不考虑杆件横截面形状，只需要输入杆件横截面的面积，可以画出杆件的轴力图。
BEAM188，是一个具有描述3个位移、3个转角共6个自由度的2个节点和1个定位节点的三维梁单元，在程序中可以指定梁的横截面形状，可以画出梁的弯矩、剪力和轴力图。
PLANE182，是一个8节点平面四边形单元，可以模拟平面应力或者考虑厚度的平面应力问题，画出截面应力、变形分布云图。因此，可以模拟平面梁纵向平面应力、变形分布情况。
SOLID185，是三维8节点6面体单元，可以模拟三维空间几何结构；而SOLID186是三维20节点6面体单元，模拟精度高于SOLID185。这类三维实体单元都可以画出应力、变形云图等。考虑到材料力学教学中主要以平面几何结构为主，而且对于初学者而言，建立一个三维几何模型及计算后的分析难度，远远大于采用梁、杆单元，或者平面单元建立的几何结构，因此，不建议使用三维结构。
节点的耦合命令在ANSYS的Main Menu菜单里面，Coupling/Ceqn命令栏里面的命令，可以定义杆系不同单元之间的联系，以及结构的位移约束条件。
三、杆系超静定问题ANSYS求解方法
尽管有限元法以位移法为基本求解方法，与材料力学教学中教授的力法求解不同。但是有限元软件的操作方法，只需要输入材料力学模型中的位移约束、外载荷等边界条件，就可以得到计算结果。因此，课堂讲解时，只需要把ANSYS软件作为一种“黑箱”求解方法。对于超静定结构的计算方法，根据有限元法和材料力学的求解方法，可以分为两种方法。
方法1：基于有限元建模的求解方法，根据杆系超静定结构和边界条件，可以直接建立有限元模型，求解出相应的杆件内力及变形。
方法2：基于材料力学的解法，即首先根据材料力学理论，建立一个静定基。然后把截出的杆件与静定基在相对应的部位，利用Coupling/Ceqn命令，建立位移协调关系。最后可求解出结构的结构内力和位移。
由于在材料力学的超静定算例中，通常是由杆、梁组合成的结构，而有限元软件易于处理同种类型单元的超静定问题，因此不失一般性。下面将以一个由杆、梁组合的超静定结构算例，说明上述两种方法的求解步骤。
算例：图示材料相同的悬臂梁AB与两端铰支的杆CD相连接。设梁AB的横截面尺寸b×h=16×32mm，杆CD的直径d=10mm，梁和杆的长度均为l=1m，材料的弹性模量E=210GPa。杆件承受的载荷F=300N。
解：此算例是一个超静定和压杆稳定的综合算例，首先要求解出梁ACB的弯矩、二力杆CD的轴力等内力。然后根据压杆稳定性的欧拉公式判断CD杆是否失稳。因此，问题的重点是利用材料力学超静定力法求解，即需要首先建立一个以悬臂梁AB受集中力的静定结构（静定基），将二力杆CD取为隔离体，代之以杆CD所承受的轴力，作为静定结构梁AB在C点处的集中力。变形协调方程定义为，梁在C点的挠度等于杆件CD的轴向位移。由上述力平衡方程与变形协调方程联立求解，得到结构内力的理论解，CD杆件压力为739.8N，杆件压缩变形量为0.044854mm。
采用ANSYS有限元方法1，即根据有限元方法建模和直接求解，杆件AB用BEAM188梁单元，CD杆用LINK180单元，共划分41个单元。A点所有的位移、转角全约束，D点约束竖直向位移，B点受垂直向下的集中力F=300N。
有限元计算结果为，CD杆件内力为738.97N，杆件压缩变形为0.044804mm。梁AB的弯矩图和杆CD的轴力图如图2所示。
由此例可知，本方法仅划分了少量的单元，操作和计算都较为简便，可以使学生对超静定结构的受力情况有直观和深刻的认识。
采用方法2求解的具体方法是，首先选取梁AB为静定结构，把AB杆件用厚度为18mm的PLAN182平面应力单元，划分30×4×2=240个单元；把CD杆隔离开来，用LINK180单元模拟其受力情况；变形协调条件定义为，将AB平面梁单元中性层与杆单元在C点联结，并且梁和杆的竖向位移相等。计算结果为，CD杆件内力为748.93N，杆件压缩变形为0.045408mm，计算结果与材料力学理论解很接近。 由计算得到的梁ACB结构的应力云图可见，梁ACB与杆CD相联结点在梁中性层上（C点），可以明显地看出，材料力学理论描述的应力集中现象。
此外，如果将变动杆件与梁接触点（c点）处位置，由梁的中性轴移到梁的下部；或者把左端（B点）集中力，由杆件中性轴移到梁右上角处，尽管在施加杆梁接触、集中力的部位，其应力分布变化较大大，但是对于整个结构总体变形和应力分布影响不大。本问题中，对于C点的挠度，杆件的压力值，变化很小。而这些计算结果正好验证了材料力学中的圣维南原理。
如果分别建立梁AB和二力杆CD两个分开的几何结构，其中梁用BEAM188单元，杆用LINK180单元，然后根据材料力学力法求解原则，建立位移协调方程，即在原来杆与梁相连接c点的相应部位点，用节点耦合命令，定义梁的挠度与杆件压缩变形量相等。计算结果与方法1中取相应单元的计算结果相同。
此外，根据有限元计算出CD杆的轴力与材料力学压杆稳定欧拉公式计算结果进行比较，就可以判断出结构是否满足稳定性，在此不再累述。
上述计算表明，方法2比起方法1操作较为复杂，需要用到ANSYS软件中节点的耦合等命令，而且结构的变形以结构分离体形式表现出，与实际结构变形图不同。但是由于该方法与力法求解步骤一致。因此，这种方法可能更适用于超静定结构的辅助教学。
四、讨论
本文根据材料力学的超静定求解步骤，把ANSYS有限元软件作为一种“黑箱”计算器。首先提出适用于材料力学教学使用的有限元法的单元类型；然后根据力法中位移协调方程提出了有限元法的节点之间位移耦合命令；之后提出基于有限元建模和材料力学力法求解步骤的两种求解方法。
算例表明，本文提出的两种方法均可以有效解决杆系超静定问题，都可以显示出结构的变形、画出杆件的轴力、梁的剪力、弯矩等内力图；或者平面应力中的等效应力分布云图等。因此都可以用于材料力学超静定教学中的辅助方法。其中方法1，可以直观、方便地建立与超静定结构相对应的有限元模型；而采用方法2，则需要根据材料力学中力法求解超静定结构步骤，建立一个基本的静定结构和一些分隔开来的几何体及位移协调条件，然后根据实际情况施加边界条件后进行求解。尽管两种方法的计算结果相同，但是采用第二种计算方法，可以使学生更加深对材料力学力法求解超静定问题的理解。
参考文献：
[1]孙训芳.材料力学（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2009.
[2]刘鸿文.材料力学Ⅱ（第5版）[M].北京：高等教育出版社，2011.
[3]李银山.Maple材料力学[M].北京：机械工业出版社，2010.
[4]曾攀.工程有限元方法[M].北京：科学出版社，2012.
关键词： 材料力学 杆系超静定 ANSYS有限元软件 单元
一、引言
材料力学教学中，杆系超静定问题是教学难点之一。通常课堂主要介绍力法求解，具体步骤是首先定义一个静定基，然后建立相应的变形协调条件作为补充方程，最后求解出全部未知内力和支座反力[1]，[2]。由于该求解方法建立基础静定结构的不唯一性，计算复杂且计算量较大，因此学生不易掌握。针对材料力学教学难点，很多学者进行了研究，并提出了解决方案。如李银山提出采用符号推导软件Maple的材料力学教学方法[3]，该方法虽然解决了静力方程与变形协调方程的联立求解问题，但由于不能画出结构的变形与内力图，因此仍然不利于学生直观理解。值得注意的是，利用有限元软件ANSYS求解材料力学问题的方法[4]，具有简便易学特点，是求解材料力学问题一种较好工具。但是目前还没有针对基于ANSYS杆系超静定教学问题的建模求解方面的具体方法评论，下面将就此问题进行常用单元使用、建模求解分析的讨论。
二、杆系超静定结构的常用单元
在求解杆系超静定问题中，常用的ANSYS单元有杆、梁、平面及三维实体单元等。下面将根据简单、易于使用的原则分别进行介绍：
LINK180，是一个定义在三维空间的二力杆单元，不考虑杆件横截面形状，只需要输入杆件横截面的面积，可以画出杆件的轴力图。
BEAM188，是一个具有描述3个位移、3个转角共6个自由度的2个节点和1个定位节点的三维梁单元，在程序中可以指定梁的横截面形状，可以画出梁的弯矩、剪力和轴力图。
PLANE182，是一个8节点平面四边形单元，可以模拟平面应力或者考虑厚度的平面应力问题，画出截面应力、变形分布云图。因此，可以模拟平面梁纵向平面应力、变形分布情况。
SOLID185，是三维8节点6面体单元，可以模拟三维空间几何结构；而SOLID186是三维20节点6面体单元，模拟精度高于SOLID185。这类三维实体单元都可以画出应力、变形云图等。考虑到材料力学教学中主要以平面几何结构为主，而且对于初学者而言，建立一个三维几何模型及计算后的分析难度，远远大于采用梁、杆单元，或者平面单元建立的几何结构，因此，不建议使用三维结构。
节点的耦合命令在ANSYS的Main Menu菜单里面，Coupling/Ceqn命令栏里面的命令，可以定义杆系不同单元之间的联系，以及结构的位移约束条件。
三、杆系超静定问题ANSYS求解方法
尽管有限元法以位移法为基本求解方法，与材料力学教学中教授的力法求解不同。但是有限元软件的操作方法，只需要输入材料力学模型中的位移约束、外载荷等边界条件，就可以得到计算结果。因此，课堂讲解时，只需要把ANSYS软件作为一种“黑箱”求解方法。对于超静定结构的计算方法，根据有限元法和材料力学的求解方法，可以分为两种方法。
方法1：基于有限元建模的求解方法，根据杆系超静定结构和边界条件，可以直接建立有限元模型，求解出相应的杆件内力及变形。
方法2：基于材料力学的解法，即首先根据材料力学理论，建立一个静定基。然后把截出的杆件与静定基在相对应的部位，利用Coupling/Ceqn命令，建立位移协调关系。最后可求解出结构的结构内力和位移。
由于在材料力学的超静定算例中，通常是由杆、梁组合成的结构，而有限元软件易于处理同种类型单元的超静定问题，因此不失一般性。下面将以一个由杆、梁组合的超静定结构算例，说明上述两种方法的求解步骤。
算例：图示材料相同的悬臂梁AB与两端铰支的杆CD相连接。设梁AB的横截面尺寸b×h=16×32mm，杆CD的直径d=10mm，梁和杆的长度均为l=1m，材料的弹性模量E=210GPa。杆件承受的载荷F=300N。
解：此算例是一个超静定和压杆稳定的综合算例，首先要求解出梁ACB的弯矩、二力杆CD的轴力等内力。然后根据压杆稳定性的欧拉公式判断CD杆是否失稳。因此，问题的重点是利用材料力学超静定力法求解，即需要首先建立一个以悬臂梁AB受集中力的静定结构（静定基），将二力杆CD取为隔离体，代之以杆CD所承受的轴力，作为静定结构梁AB在C点处的集中力。变形协调方程定义为，梁在C点的挠度等于杆件CD的轴向位移。由上述力平衡方程与变形协调方程联立求解，得到结构内力的理论解，CD杆件压力为739.8N，杆件压缩变形量为0.044854mm。
采用ANSYS有限元方法1，即根据有限元方法建模和直接求解，杆件AB用BEAM188梁单元，CD杆用LINK180单元，共划分41个单元。A点所有的位移、转角全约束，D点约束竖直向位移，B点受垂直向下的集中力F=300N。
有限元计算结果为，CD杆件内力为738.97N，杆件压缩变形为0.044804mm。梁AB的弯矩图和杆CD的轴力图如图2所示。
由此例可知，本方法仅划分了少量的单元，操作和计算都较为简便，可以使学生对超静定结构的受力情况有直观和深刻的认识。
采用方法2求解的具体方法是，首先选取梁AB为静定结构，把AB杆件用厚度为18mm的PLAN182平面应力单元，划分30×4×2=240个单元；把CD杆隔离开来，用LINK180单元模拟其受力情况；变形协调条件定义为，将AB平面梁单元中性层与杆单元在C点联结，并且梁和杆的竖向位移相等。计算结果为，CD杆件内力为748.93N，杆件压缩变形为0.045408mm，计算结果与材料力学理论解很接近。 由计算得到的梁ACB结构的应力云图可见，梁ACB与杆CD相联结点在梁中性层上（C点），可以明显地看出，材料力学理论描述的应力集中现象。
此外，如果将变动杆件与梁接触点（c点）处位置，由梁的中性轴移到梁的下部；或者把左端（B点）集中力，由杆件中性轴移到梁右上角处，尽管在施加杆梁接触、集中力的部位，其应力分布变化较大大，但是对于整个结构总体变形和应力分布影响不大。本问题中，对于C点的挠度，杆件的压力值，变化很小。而这些计算结果正好验证了材料力学中的圣维南原理。
如果分别建立梁AB和二力杆CD两个分开的几何结构，其中梁用BEAM188单元，杆用LINK180单元，然后根据材料力学力法求解原则，建立位移协调方程，即在原来杆与梁相连接c点的相应部位点，用节点耦合命令，定义梁的挠度与杆件压缩变形量相等。计算结果与方法1中取相应单元的计算结果相同。
此外，根据有限元计算出CD杆的轴力与材料力学压杆稳定欧拉公式计算结果进行比较，就可以判断出结构是否满足稳定性，在此不再累述。
上述计算表明，方法2比起方法1操作较为复杂，需要用到ANSYS软件中节点的耦合等命令，而且结构的变形以结构分离体形式表现出，与实际结构变形图不同。但是由于该方法与力法求解步骤一致。因此，这种方法可能更适用于超静定结构的辅助教学。
四、讨论
本文根据材料力学的超静定求解步骤，把ANSYS有限元软件作为一种“黑箱”计算器。首先提出适用于材料力学教学使用的有限元法的单元类型；然后根据力法中位移协调方程提出了有限元法的节点之间位移耦合命令；之后提出基于有限元建模和材料力学力法求解步骤的两种求解方法。
算例表明，本文提出的两种方法均可以有效解决杆系超静定问题，都可以显示出结构的变形、画出杆件的轴力、梁的剪力、弯矩等内力图；或者平面应力中的等效应力分布云图等。因此都可以用于材料力学超静定教学中的辅助方法。其中方法1，可以直观、方便地建立与超静定结构相对应的有限元模型；而采用方法2，则需要根据材料力学中力法求解超静定结构步骤，建立一个基本的静定结构和一些分隔开来的几何体及位移协调条件，然后根据实际情况施加边界条件后进行求解。尽管两种方法的计算结果相同，但是采用第二种计算方法，可以使学生更加深对材料力学力法求解超静定问题的理解。
参考文献：
[1]孙训芳.材料力学（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2009.
[2]刘鸿文.材料力学Ⅱ（第5版）[M].北京：高等教育出版社，2011.
[3]李银山.Maple材料力学[M].北京：机械工业出版社，2010.
[4]曾攀.工程有限元方法[M].北京：科学出版社，2012.