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一、教学背景
《椭圆的标准方程》选于《数学》拓展模块（人民教育出版社）第二章第一节，椭圆是圆锥曲线的一种，它是继学习了直线和圆的方程后，进一步利用坐标法研究和解决曲线问题。本节课的学习方法对本章具有向导和引领的作用，为后续学习双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础，它起到了一个承上启下的重要作用，是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识。
针对椭圆的标准方程这堂课，由于方程的一系列的推导和论证显得枯燥无味，对于学生来说不仅理解困难且容易遗忘，在传统教学中带有图形的教学也往往都被固定在黑板和纸上，都是静态的，不仅费时费力，又不能动态地呈现椭圆的整个形成过程，再加上中职学生自身的逻辑思维能力和想象能力不强，学生很难从本质上真正理解椭圆。而随着多媒体的出现，传统教学的这些不足，得到了很大程度上的弥补，多媒体能够将文本、图像、动画、声音等有机结合起来，为课堂教学创设适当情境，能够激发学生的兴趣，从而增强课堂教学效果。在本课教学中，结合PPT、Camtasia、Geogebra画板及flash等工具制作了椭圆的标准方程的微课和课件，利用课件直观、形象地向学生展示知识的形成过程，更好地完成教学目标。除了多媒体技术，在课中也加入了学生动手实验的活动，让学生亲自体验椭圆的形成过程，然后再通过Geogebra画板验证结论的正确性。一方面可以帮助学生自主探究知识，另一方面又能很好地激发学生的学习兴趣及积极性。
结合以上分析，为了使学生更主动地参加到课堂教学中，培养学习思维能力，本节课采用自主探究法，即“创设情境—动手实验—提出问题—引导探究—归纳抽象—总结规律”，同时借助多媒体辅助教学，提高学生的学习兴趣，达到较好的教学效果。
二、教学设计及实施
1.教学目标
理解并掌握椭圆的定义及标准方程；会根据椭圆标准方程写出椭圆焦点坐标；能根据条件确定椭圆的标准方程；培养学生数形结合思想、类比、分类讨论思想，培养学生学习数学的兴趣，让学生体会数学的理性和严谨。
2.教学重难点
重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程的两种形式。
难点：椭圆标准方程的推导与化简；坐标法的应用。
3.教学过程
课前预习：课前给学生提供椭圆的定义的微课视频，初步了解椭圆的形成过程和椭圆的定义。
（1）创设情境，概念引入。
师：首先，请同学们回想一下，你见过椭圆吗？生活中有哪些常见椭圆？
（2）动手实验，形成概念。
让学生拿出课前准备好的细绳、白纸和铅笔，指导同桌之间相互合作，借助微课、Geogebra画板提示画法体验画椭圆的过程，并以此了解椭圆所具有的特征。并思考以下几个问题：
问题1：画图过程中，哪些是固定不动的？哪些运动变化的？
问题2：画图过程中，绳子长度有没有发生变化？
问题3：假设绳子长度为2a，那么P点满足怎么的条件呢？
问题4：那么是否P点满足以上的条件就能畫出椭圆呢？
借助Geogebra画板演示（分三种情况说明动点轨迹）
椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。其中两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距，记为2c。
数学符号表示：|PF1 PF2|=2a（2a>2c）
（3）椭圆方程的建立
师：请同学们先回顾一下，求曲线方程的一般步骤有哪些？
生：①建系 ②设点 ③列式 ④代换 ⑤化简
依据求曲线的一般步骤引导学生推导椭圆的方程（过程略）。
椭圆的标准方程：（a>b>0）（焦点在x轴上）
师：如果将焦点放在y轴上，椭圆的方程又该如何？
引导：①可以让学生猜想焦点在y轴上的方程会如何？
②类比焦点在x轴上的椭圆方程，如何去推导？
③观察可以发现，两者只要交换坐标轴就可以了。
椭圆的标准方程：（a>b>0）（焦点在y轴上）
（4）椭圆方程的特点（对比）
问题1：观察两个标准方程的结构特征，有哪些共同点？
问题2：确定椭圆的方程需要几个参数？它们之间满足什么关系？
问题3：给定椭圆的标准方程，如何判断焦点位置？
（5）例题解析。
例：求适合条件的椭圆的标准方程：两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。
分析：确定椭圆的标准方程关键是确定方程的形式及a、b的参数，因此可以采用待定系数法，先根据已知条件设出方程的形式。
三、课列分析
本节课主要采用自主探究的方式进行教学，并利用多媒体技术（如微课、Geogebra画板、PPT、Flash等）加以辅助，让学生真正参与到学习中去，去享受知识生成的乐趣。通过这次课，发现自主探究的教学方式和多媒体的运用，对高效教学有很多促进作用，主要体现在以下几个方面：
1.实践活动在自主探究中的作用
相比于其他学科，数学的知识过于公式化、概念化、抽象化，因此给学生的第一感觉是枯燥乏味，很难激起学生对学习数学的兴趣。而实践活动恰恰是学生所喜欢的一种学习形式，根据这节课的特点，创设一个画椭圆的实践活动，让学生在一个活跃、欢快的氛围中主动地去感知、探索椭圆的形成过程；活动中设置了同桌协作完成整个活动过程，这也是学生自主学习主要形式，不仅了培养学生的合作能力，也能够通过相互的交流，更好的理解实验的意义。
2.多媒体技术对自主探究的辅助作用 教师常常有这样的体会，传统教学当中画图的过程比较繁琐，需要在黑板上完成，不仅耗时，准确度也不高，同时也不能动态地反应图像的形成过程，往往为了完成学期的教学进度，不得不进行灌输式的教学。多媒体的运用正好解决了这一矛盾，借助多媒体不仅能形象直观展示知识的形成过程，同时也节省许多时间，使得课堂容量也得到一定增加，缓解了因为进度产生的矛盾，也为增加学生动手实验活动环节提供了足够时间。
首先，微课在课堂教学中的重要作用。之所以制作椭圆的定义这节微课，主要有以下几个原因。
（1）激发学习兴趣，相比传统教学，微课的形式更加生动有趣，更能激发学生的学习兴趣，提高学习效果。
（2）推动分层教学，学生可以根据自身的基础和理解能力，控制播放速度，反复观看和学习，达到掌握知识的目的。
（3）方便同步教学，在椭圆的教学中，有些内容在课堂中无法很好地呈现，而通过微课则可以更直观、动态的解决这些问题。
从技术层面上，应用了不同的软件实现了最优化的辅助效果，在吸引学生兴趣的同时，能够很好地理解视频所表达的知识，理解并掌握它。当然，通过这次微课的应用也给予我一些反思，对微课的再认识。微课的目的到底是什么，往往目前的现状大部分院校的微课都是为了比赛而制作的，而真正的应用却很少；微课成为将来的一个趋势，但是不是任何知识都适合做成微课呢？这都值得我们思考。不论是怎样的技术或者方法，目的都是向学生传授知识，不论是否制作微课、微课是否華丽，只要能够在有效的时间内使学生掌握知识，我觉得就是成功的。其实我们更多的是应该关注教学的有效性，这一点我觉得可汗学院的微课是一个很好的例子，微课只是其教学的一部分，只是辅助教学。因此微课并不是你的微课的软件多，技术新就是好的，是否适合学生的学习才是我们重点考虑的内容。
其次，多媒体课件在教学中的作用。
第一，在课件中，通过图片、天体运动的flash动画等展示，感受生活中椭圆，体会研究椭圆的必要性。
第二，Geogebra画板的应用，借助GeoGebra画板强大的作图和动态演示功能再现了椭圆的形成过程，一可以验证学生在实践环节的正确性，二可以更形象直观地反映的椭圆的形成过程，让学生体会椭圆上的点的运动规律，在教师的引导下，自主探究其形成的条件。
第三，在方程的推导过程中，建系是其中的一个难点，借助课件的动态变化，展示不同位置的建系方式，让学生讨论并感受它们的区别，自主寻找使方程最简单的建系方法，解决一个学生理解上的难点。
当然，多媒体课件只是辅助，它应该服务于课堂，而不是课堂的主体，切记为了课件的华丽忽视教学的本质。
3.问题对引导自主探究的作用
新课标中强调学生的主体参与、探究学习，通过问题的提出，能够引导学生参与问题的思考。问题是课堂的指示灯，它指引学生思考的方向，同时培养学生的探究意识、分析问题和解决问题的能力，我想这种能力比学会某个数学知识点更为重要。
本节课在不同环节设置不同层次的问题，逐步引导学生探究知识的形成。在椭圆的形成过程中，结合实验环节，设置4个问题，逐步探究椭圆的形成过程和满足的条件，这样给学生一个探究和思考的方向，也更易于理解椭圆的本质。为了更好地记忆和理解椭圆的标准方程，通过3个问题的引导学生观察方程的不同特点。
当然，限于中职学生的实际知识水平和能力，完全靠学生自身探究知识的本质比较困难。因此在问题的设置和教师的引导上应更加明确、更加有针对性；针对中职学生的要求，在方程推导过程中的化简，因为学生运算能力及时间的限制，探究仅限于方法与结论，对运算过程就不做过多要求。
通过以上分析，可以看出自主探究式教学可以让学生经历知识的形成过程，而不仅仅是让学生机械地接受、记忆、模仿和练习。虽然学生对椭圆标准方程的记忆和运用不十分熟练，但对其形成的过程和分析问题、解决问题的能力方面得到一定的锻炼，我想这才是数学课应该给予学生的能力，重视学习过程比重视学习结果更重要。
（作者单位：浙江省机电技师学院）
《椭圆的标准方程》选于《数学》拓展模块（人民教育出版社）第二章第一节，椭圆是圆锥曲线的一种，它是继学习了直线和圆的方程后，进一步利用坐标法研究和解决曲线问题。本节课的学习方法对本章具有向导和引领的作用，为后续学习双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础，它起到了一个承上启下的重要作用，是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识。
针对椭圆的标准方程这堂课，由于方程的一系列的推导和论证显得枯燥无味，对于学生来说不仅理解困难且容易遗忘，在传统教学中带有图形的教学也往往都被固定在黑板和纸上，都是静态的，不仅费时费力，又不能动态地呈现椭圆的整个形成过程，再加上中职学生自身的逻辑思维能力和想象能力不强，学生很难从本质上真正理解椭圆。而随着多媒体的出现，传统教学的这些不足，得到了很大程度上的弥补，多媒体能够将文本、图像、动画、声音等有机结合起来，为课堂教学创设适当情境，能够激发学生的兴趣，从而增强课堂教学效果。在本课教学中，结合PPT、Camtasia、Geogebra画板及flash等工具制作了椭圆的标准方程的微课和课件，利用课件直观、形象地向学生展示知识的形成过程，更好地完成教学目标。除了多媒体技术，在课中也加入了学生动手实验的活动，让学生亲自体验椭圆的形成过程，然后再通过Geogebra画板验证结论的正确性。一方面可以帮助学生自主探究知识，另一方面又能很好地激发学生的学习兴趣及积极性。
结合以上分析，为了使学生更主动地参加到课堂教学中，培养学习思维能力，本节课采用自主探究法，即“创设情境—动手实验—提出问题—引导探究—归纳抽象—总结规律”，同时借助多媒体辅助教学，提高学生的学习兴趣，达到较好的教学效果。
二、教学设计及实施
1.教学目标
理解并掌握椭圆的定义及标准方程；会根据椭圆标准方程写出椭圆焦点坐标；能根据条件确定椭圆的标准方程；培养学生数形结合思想、类比、分类讨论思想，培养学生学习数学的兴趣，让学生体会数学的理性和严谨。
2.教学重难点
重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程的两种形式。
难点：椭圆标准方程的推导与化简；坐标法的应用。
3.教学过程
课前预习：课前给学生提供椭圆的定义的微课视频，初步了解椭圆的形成过程和椭圆的定义。
（1）创设情境，概念引入。
师：首先，请同学们回想一下，你见过椭圆吗？生活中有哪些常见椭圆？
（2）动手实验，形成概念。
让学生拿出课前准备好的细绳、白纸和铅笔，指导同桌之间相互合作，借助微课、Geogebra画板提示画法体验画椭圆的过程，并以此了解椭圆所具有的特征。并思考以下几个问题：
问题1：画图过程中，哪些是固定不动的？哪些运动变化的？
问题2：画图过程中，绳子长度有没有发生变化？
问题3：假设绳子长度为2a，那么P点满足怎么的条件呢？
问题4：那么是否P点满足以上的条件就能畫出椭圆呢？
借助Geogebra画板演示（分三种情况说明动点轨迹）
椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。其中两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距，记为2c。
数学符号表示：|PF1 PF2|=2a（2a>2c）
（3）椭圆方程的建立
师：请同学们先回顾一下，求曲线方程的一般步骤有哪些？
生：①建系 ②设点 ③列式 ④代换 ⑤化简
依据求曲线的一般步骤引导学生推导椭圆的方程（过程略）。
椭圆的标准方程：（a>b>0）（焦点在x轴上）
师：如果将焦点放在y轴上，椭圆的方程又该如何？
引导：①可以让学生猜想焦点在y轴上的方程会如何？
②类比焦点在x轴上的椭圆方程，如何去推导？
③观察可以发现，两者只要交换坐标轴就可以了。
椭圆的标准方程：（a>b>0）（焦点在y轴上）
（4）椭圆方程的特点（对比）
问题1：观察两个标准方程的结构特征，有哪些共同点？
问题2：确定椭圆的方程需要几个参数？它们之间满足什么关系？
问题3：给定椭圆的标准方程，如何判断焦点位置？
（5）例题解析。
例：求适合条件的椭圆的标准方程：两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。
分析：确定椭圆的标准方程关键是确定方程的形式及a、b的参数，因此可以采用待定系数法，先根据已知条件设出方程的形式。
三、课列分析
本节课主要采用自主探究的方式进行教学，并利用多媒体技术（如微课、Geogebra画板、PPT、Flash等）加以辅助，让学生真正参与到学习中去，去享受知识生成的乐趣。通过这次课，发现自主探究的教学方式和多媒体的运用，对高效教学有很多促进作用，主要体现在以下几个方面：
1.实践活动在自主探究中的作用
相比于其他学科，数学的知识过于公式化、概念化、抽象化，因此给学生的第一感觉是枯燥乏味，很难激起学生对学习数学的兴趣。而实践活动恰恰是学生所喜欢的一种学习形式，根据这节课的特点，创设一个画椭圆的实践活动，让学生在一个活跃、欢快的氛围中主动地去感知、探索椭圆的形成过程；活动中设置了同桌协作完成整个活动过程，这也是学生自主学习主要形式，不仅了培养学生的合作能力，也能够通过相互的交流，更好的理解实验的意义。
2.多媒体技术对自主探究的辅助作用 教师常常有这样的体会，传统教学当中画图的过程比较繁琐，需要在黑板上完成，不仅耗时，准确度也不高，同时也不能动态地反应图像的形成过程，往往为了完成学期的教学进度，不得不进行灌输式的教学。多媒体的运用正好解决了这一矛盾，借助多媒体不仅能形象直观展示知识的形成过程，同时也节省许多时间，使得课堂容量也得到一定增加，缓解了因为进度产生的矛盾，也为增加学生动手实验活动环节提供了足够时间。
首先，微课在课堂教学中的重要作用。之所以制作椭圆的定义这节微课，主要有以下几个原因。
（1）激发学习兴趣，相比传统教学，微课的形式更加生动有趣，更能激发学生的学习兴趣，提高学习效果。
（2）推动分层教学，学生可以根据自身的基础和理解能力，控制播放速度，反复观看和学习，达到掌握知识的目的。
（3）方便同步教学，在椭圆的教学中，有些内容在课堂中无法很好地呈现，而通过微课则可以更直观、动态的解决这些问题。
从技术层面上，应用了不同的软件实现了最优化的辅助效果，在吸引学生兴趣的同时，能够很好地理解视频所表达的知识，理解并掌握它。当然，通过这次微课的应用也给予我一些反思，对微课的再认识。微课的目的到底是什么，往往目前的现状大部分院校的微课都是为了比赛而制作的，而真正的应用却很少；微课成为将来的一个趋势，但是不是任何知识都适合做成微课呢？这都值得我们思考。不论是怎样的技术或者方法，目的都是向学生传授知识，不论是否制作微课、微课是否華丽，只要能够在有效的时间内使学生掌握知识，我觉得就是成功的。其实我们更多的是应该关注教学的有效性，这一点我觉得可汗学院的微课是一个很好的例子，微课只是其教学的一部分，只是辅助教学。因此微课并不是你的微课的软件多，技术新就是好的，是否适合学生的学习才是我们重点考虑的内容。
其次，多媒体课件在教学中的作用。
第一，在课件中，通过图片、天体运动的flash动画等展示，感受生活中椭圆，体会研究椭圆的必要性。
第二，Geogebra画板的应用，借助GeoGebra画板强大的作图和动态演示功能再现了椭圆的形成过程，一可以验证学生在实践环节的正确性，二可以更形象直观地反映的椭圆的形成过程，让学生体会椭圆上的点的运动规律，在教师的引导下，自主探究其形成的条件。
第三，在方程的推导过程中，建系是其中的一个难点，借助课件的动态变化，展示不同位置的建系方式，让学生讨论并感受它们的区别，自主寻找使方程最简单的建系方法，解决一个学生理解上的难点。
当然，多媒体课件只是辅助，它应该服务于课堂，而不是课堂的主体，切记为了课件的华丽忽视教学的本质。
3.问题对引导自主探究的作用
新课标中强调学生的主体参与、探究学习，通过问题的提出，能够引导学生参与问题的思考。问题是课堂的指示灯，它指引学生思考的方向，同时培养学生的探究意识、分析问题和解决问题的能力，我想这种能力比学会某个数学知识点更为重要。
本节课在不同环节设置不同层次的问题，逐步引导学生探究知识的形成。在椭圆的形成过程中，结合实验环节，设置4个问题，逐步探究椭圆的形成过程和满足的条件，这样给学生一个探究和思考的方向，也更易于理解椭圆的本质。为了更好地记忆和理解椭圆的标准方程，通过3个问题的引导学生观察方程的不同特点。
当然，限于中职学生的实际知识水平和能力，完全靠学生自身探究知识的本质比较困难。因此在问题的设置和教师的引导上应更加明确、更加有针对性；针对中职学生的要求，在方程推导过程中的化简，因为学生运算能力及时间的限制，探究仅限于方法与结论，对运算过程就不做过多要求。
通过以上分析，可以看出自主探究式教学可以让学生经历知识的形成过程，而不仅仅是让学生机械地接受、记忆、模仿和练习。虽然学生对椭圆标准方程的记忆和运用不十分熟练，但对其形成的过程和分析问题、解决问题的能力方面得到一定的锻炼，我想这才是数学课应该给予学生的能力，重视学习过程比重视学习结果更重要。
（作者单位：浙江省机电技师学院）