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一、引言
中学数学的学习最重要的是理解和掌握数学思想。常用的数学思想有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想、极限思想等。同学们只有深刻理解和掌握这些数学思想才能真正提升数学能力。在这些数学思想中，数形结合思想占有重要的地位。正确合理地运用这一思想方法可以将许多抽象的问题直观化，获得事半功倍的效果。
二、数形结合思想的理论
（一）数形结合思想的定义
数形结合是指将抽象的数学语言和直观的图形结合起来，一方面借助数的精确性阐述形的性质，另一方面借助形的直观性阐述数量关系。
（二）数形结合思想的途径
数形结合思想通常利用已知的数量关系的结构特征构造出与之相适应的的图形或者借助平面直角坐标系将代数问题几何化。
三、数形结合思想在中学数学解题中的应用
数形结合思想在中学数学题解中有着广泛地应用，它可以解决集合问题、函数图像问题、复数问题、不等式证明问题、方程根的存在性问题、函数最值问题等。
（一）证明不等式
一般，证明不等式的成立可以运用不等式的差值比较法、商值比较法、放缩法、换元法等。运用这些方法的同时要结合不等式的基本性质（如不等式的传递性、不等式的可加性）、推论以及均值不等式的相关知识。证明时需要同学们熟练掌握上述内容，推导时较为复杂且容易出错。如果同学们能够发现所给条件的几何意义，就可以方便快捷地运用数形结合的思想方法来解决不等式的证明，获得事半功倍的效果。
例1正数a，b，c，a′，b′，c′满足a+a′=b+b′=c+c′=K。求证：ab′+bc′+ca′ 分析：初看本题是一道纯粹的代数题目，属于不等式的证明题。一般，我们会考虑不等式的证明方法，从多种证明方法中选取一种较为合适的方法。然而，我们感觉本
图1
题所给条件和结论的联系并不是那么强烈。此时，我们仔细观察理解所给条件的几何意义，可以联想到等边三角形，其中等边三角形的边长为K，并且每边被分成两段，分别是a，a′；b，b′；c，c′（满足a，b，c，a′，b′，c′是正数的）。由此，我们可以构造出如图1所示的图形。然后我们分析结论不等式的左右两侧。显然，不等式的右侧K2是面积。不等式的左边部分是乘积的和，也是面积。K2与等边三角形△PQR的面积相关；ab′与△MRL的面积相关；bc′与△PMN的面积相关；ca′与△NQL的面积相关。由上述分析，我们可以做出如下证明。
证明：作出如图1所示的边长为K等边三角形△PQR，分别在各边上取点L、M、N，使得QL=a′，LR=a；MR=b′，PM=b；PN=c′，NQ=c。设△PQR的面积为S，则S=34K2。△MLR的面积为S1，△PMN的面积为S2，△NQL的面积为S3。
S1=12ab′sin60°=34ab′，
S2=12bc′sin60°=34bc′，
S3=12ca′sin 60°=34ca′，
S1+S2+S3=34ab′+34bc′+34ca′。
显然S1+S2+S3 即34ab′+34bc′+34ca′<34K2，
所以ab′+bc′+ca′ 虽然我们证明了该不等式成立的结论，但是我们可以继续思考，深入理解已知条件a+a′=b+b′=c+c′=K，可以联想到正方形。正方形的边长是K，其中正方形的每条边被分成两段，如图2所示。由上述分析，我们可以做出如下证明。
图2
证明：构造如图2所示的边长为K正方形MNPQ，分别在各边上取点E、F、G、J，使得NE=a′，ME=a；QF=b′，PF=b；PG=c′，NG=c。设正方形MNPQ的面积为S，正方形MEIJ的面积为S1，正方形GHFP的面积为S2，正方形NELG的面积为S3。则S1=ab′，S2=bc′，S3=ca′，S=K2。
由图2显然可知S1+S2+S3 由此可见，运用数形结合的思想证明不等式的成立是一种较为简便的方法，主要是抓住所给的已知条件和所证明的结论的几何意义。
（二）方程根的存在性
方程根的存在性问题是每年高考的考查内容之一，一般以选择题的形式出现。题目一般考查某个方程有几个实数根的问题。如果用常规的方法求解方程的根费时费力，有时甚至得不出方程的正确根。如果同学们充分理解和掌握数形结合思想可以快速地得出正确答案。
例2（2004年湖南高考）设函数f（x）=x2+bx+c，x≤0，2，x>0，若f（-4）=f（0），f（-2）=-2，则关于x的方程f（x）=x的解的个数为（）。
A.1B.2C.3D.4
分析：本题是一道关于方程根的存在性的选择题。通常，我们可以计算出方程的根，从而得出方程解的个数。这里的待定系数b、c需要求解。这种纯粹的代数方法较为复杂。下面我们先用该方法解题。
解法一（代数方法）：
由题知f（x）是分段函数，在x≤0的范围内是二次函数，在x>0的范围内是常数2。
因为f（-4）=f（0），所以函数f（x）满足公式f（a-x）=f（b+x），
所以f（x）在x≤0的范围内的对称轴x=-4+02=-2，
二次函数f（x）=x2+bx+c=x+b22+c-b24，
所以f（x）在x≤0的范围内的对称轴是x=-b2即-b2=-2，所以b=4。
又因为f（-2）=-2，即（-2）2+（-2）*b+c=-2。
所以2b-c=6，将b=4代入方程可得c=2。
所以f（x）=x2+4x+2，x≤0，2，x>0，方程f（x）=x在x≤0时为x2+4x+2=x。
方程的根x1=-1，x2=-2且x1、x2均在x≤0的范围内。在x>0的范围内方程f（x）=x，即2=x。由此可见，方程f（x）=x的根有3个，分别是-1、-2、2。故该题选C。
解法二（数形结合方法）：
由解法一知函数f（x）=x2+4x+2，x≤0，2，x>0，由此我们可以畫出f（x）函数图像如图3所示。
图3
设g（x）=x，则方程f（x）=x的解的个数即是f（x）与g（x）的交点个数，方程的根即为交点的横坐标的值，f（x）与g（x）的交点个数有3个，用A、B、C表示。故该题选C。
四、结束语
数形结合思想地运用较为广泛，充分理解和掌握数形结合思想不是一蹴而就的。希望同学们在学习的过程中加强理解曲线与方程的对应关系，代数式或等式的几何意义，多思考，多练习，尽快熟练掌握数形结合思想。
作者单位：河南省郑州外国语新枫杨高中
中学数学的学习最重要的是理解和掌握数学思想。常用的数学思想有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想、极限思想等。同学们只有深刻理解和掌握这些数学思想才能真正提升数学能力。在这些数学思想中，数形结合思想占有重要的地位。正确合理地运用这一思想方法可以将许多抽象的问题直观化，获得事半功倍的效果。
二、数形结合思想的理论
（一）数形结合思想的定义
数形结合是指将抽象的数学语言和直观的图形结合起来，一方面借助数的精确性阐述形的性质，另一方面借助形的直观性阐述数量关系。
（二）数形结合思想的途径
数形结合思想通常利用已知的数量关系的结构特征构造出与之相适应的的图形或者借助平面直角坐标系将代数问题几何化。
三、数形结合思想在中学数学解题中的应用
数形结合思想在中学数学题解中有着广泛地应用，它可以解决集合问题、函数图像问题、复数问题、不等式证明问题、方程根的存在性问题、函数最值问题等。
（一）证明不等式
一般，证明不等式的成立可以运用不等式的差值比较法、商值比较法、放缩法、换元法等。运用这些方法的同时要结合不等式的基本性质（如不等式的传递性、不等式的可加性）、推论以及均值不等式的相关知识。证明时需要同学们熟练掌握上述内容，推导时较为复杂且容易出错。如果同学们能够发现所给条件的几何意义，就可以方便快捷地运用数形结合的思想方法来解决不等式的证明，获得事半功倍的效果。
例1正数a，b，c，a′，b′，c′满足a+a′=b+b′=c+c′=K。求证：ab′+bc′+ca′
图1
题所给条件和结论的联系并不是那么强烈。此时，我们仔细观察理解所给条件的几何意义，可以联想到等边三角形，其中等边三角形的边长为K，并且每边被分成两段，分别是a，a′；b，b′；c，c′（满足a，b，c，a′，b′，c′是正数的）。由此，我们可以构造出如图1所示的图形。然后我们分析结论不等式的左右两侧。显然，不等式的右侧K2是面积。不等式的左边部分是乘积的和，也是面积。K2与等边三角形△PQR的面积相关；ab′与△MRL的面积相关；bc′与△PMN的面积相关；ca′与△NQL的面积相关。由上述分析，我们可以做出如下证明。
证明：作出如图1所示的边长为K等边三角形△PQR，分别在各边上取点L、M、N，使得QL=a′，LR=a；MR=b′，PM=b；PN=c′，NQ=c。设△PQR的面积为S，则S=34K2。△MLR的面积为S1，△PMN的面积为S2，△NQL的面积为S3。
S1=12ab′sin60°=34ab′，
S2=12bc′sin60°=34bc′，
S3=12ca′sin 60°=34ca′，
S1+S2+S3=34ab′+34bc′+34ca′。
显然S1+S2+S3
所以ab′+bc′+ca′
图2
证明：构造如图2所示的边长为K正方形MNPQ，分别在各边上取点E、F、G、J，使得NE=a′，ME=a；QF=b′，PF=b；PG=c′，NG=c。设正方形MNPQ的面积为S，正方形MEIJ的面积为S1，正方形GHFP的面积为S2，正方形NELG的面积为S3。则S1=ab′，S2=bc′，S3=ca′，S=K2。
由图2显然可知S1+S2+S3
（二）方程根的存在性
方程根的存在性问题是每年高考的考查内容之一，一般以选择题的形式出现。题目一般考查某个方程有几个实数根的问题。如果用常规的方法求解方程的根费时费力，有时甚至得不出方程的正确根。如果同学们充分理解和掌握数形结合思想可以快速地得出正确答案。
例2（2004年湖南高考）设函数f（x）=x2+bx+c，x≤0，2，x>0，若f（-4）=f（0），f（-2）=-2，则关于x的方程f（x）=x的解的个数为（）。
A.1B.2C.3D.4
分析：本题是一道关于方程根的存在性的选择题。通常，我们可以计算出方程的根，从而得出方程解的个数。这里的待定系数b、c需要求解。这种纯粹的代数方法较为复杂。下面我们先用该方法解题。
解法一（代数方法）：
由题知f（x）是分段函数，在x≤0的范围内是二次函数，在x>0的范围内是常数2。
因为f（-4）=f（0），所以函数f（x）满足公式f（a-x）=f（b+x），
所以f（x）在x≤0的范围内的对称轴x=-4+02=-2，
二次函数f（x）=x2+bx+c=x+b22+c-b24，
所以f（x）在x≤0的范围内的对称轴是x=-b2即-b2=-2，所以b=4。
又因为f（-2）=-2，即（-2）2+（-2）*b+c=-2。
所以2b-c=6，将b=4代入方程可得c=2。
所以f（x）=x2+4x+2，x≤0，2，x>0，方程f（x）=x在x≤0时为x2+4x+2=x。
方程的根x1=-1，x2=-2且x1、x2均在x≤0的范围内。在x>0的范围内方程f（x）=x，即2=x。由此可见，方程f（x）=x的根有3个，分别是-1、-2、2。故该题选C。
解法二（数形结合方法）：
由解法一知函数f（x）=x2+4x+2，x≤0，2，x>0，由此我们可以畫出f（x）函数图像如图3所示。
图3
设g（x）=x，则方程f（x）=x的解的个数即是f（x）与g（x）的交点个数，方程的根即为交点的横坐标的值，f（x）与g（x）的交点个数有3个，用A、B、C表示。故该题选C。
四、结束语
数形结合思想地运用较为广泛，充分理解和掌握数形结合思想不是一蹴而就的。希望同学们在学习的过程中加强理解曲线与方程的对应关系，代数式或等式的几何意义，多思考，多练习，尽快熟练掌握数形结合思想。
作者单位：河南省郑州外国语新枫杨高中